Материал: 1944

Пусть x0 D( f ) – критическая точка II рода,

т.е. в этой точке

f x0 0 или не существует.

Знак производной

Вид графика в

в окрестности

f (x)

окрестности точки

Вывод

точки x0

x0, f (x0)

x x0

x x0

+

+

Кривая вогнутая, точки

перегиба нет

−

−

Кривая выпуклая, точки

перегиба нет

+

−

x0, f (x0) − точка

перегиба

−

+

x0, f (x0) − точка

перегиба

Схема исследования функции

Этапы исследования

П р и м е р. y

x2

x 1

1. Найти область определения

D(y) , 1 1,

2. Исследовать функцию на

y( x)

x2

y(x)

чётность, нечётность и

x 1

Функция общего вида, непериодиче-

периодичность

ская

3. Найти точки пересечения

x 0 y 0

графика с осями координат

Окончание таблицы

lim

x2

x 1 0 x 1

x 1 − вертикальная асимптота;

lim

x

2

горизонтальных

4. Найти асимптоты графика

x x 1

асимптот нет;

функции

k

lim

x

2

1,

x x(x 1)

x2

b lim

x

1

x x 1

y x 1 − наклонная асимптота

y

x(x 2)

, y

0

(x 1)2

5. Найти интервалы возрастания и

при x 2,

x 0.

убывания, экстремумы функции

+

-

-

f (x)

-2

-1

0

f (x)

ymax y( 2) 4,

ymin y(0) 0

y

2

,

y 0

(x 1)3

6. Найти интервалы выпуклости и

точек перегиба нет.

вогнутости, точки перегиба

-

f (x)

f (x)

графика функции

-1

( , 1)

− интервал выпуклости,

( 1, ) − интервал вогнутости

Основные понятия

Определения и расчетные формулы

Способы задания пространственной

Векторное уравнение кривой

–

кривой

r r(t)

,

параметрические уравнения кривой

–

Z

M

r

(t)

x x(t),

M1

r

y y(t),

r(t)

r

(t t)

z z(t),

где t – параметр, каждому значению

k

Y

которого соответствует определенная

i

точка М в пространстве

j

X

Векторная функция скалярного

r x(t)i y(t) j z(t)k

аргумента t.

Годограф

Линия

,

описываемая

концом

радиуса-вектора r(t)

Производная вектора-функции

r

скалярного аргумента

r

(t) lim

x

(t)i

y

(t) j

z (t)k

t

t 0

Вектор скорости

r

(t) характеризует направление и

быстроту движения точки, направлен

по касательной к кривой

в точке М

Вектор ускорения

r

x

(t) r

(t)

(t)i y

(t) j

z (t)k

Репер Френе

Система

координат

n

b

n0

0

0

0

M0,

,

,

,

где 0 r (t)

–

n

b

0

0

0

b0

касательный вектор;

b

r (t) r (t)

–

M0

0

n0 0 b0 –

вектор

бинормали;

0

вектор главной нормали

Характеристики

Определение

Расчетные формулы

Кривизна кривой

Кривизна

кривой

–

скорость

k1

f (x)

отклонения

кривой

от

3

1 (f

2

касательной:

k1 lim

,

(x))

– для плоской

где

t 0 S

кривой

M

–

наименьший

угол

между касательными к кривой

r r

M0

k1

–

в точках М и М0 , S − длина

r

3

дуги ММ0.

для

пространственной

кривой

Радиус кривизны,

Радиус кривизны линии в

Для плоской кривой

центр кривизны,

точке – величина, обратная

2

3/2

эволюта и эвольвента

кривизне кривой в

R

1

1

y

–

рассматриваемой точке.

k1

y

Пусть в точке М0

проведена

радиус кривизны,

нормаль

к

кривой,

2

)

направленная

в

сторону

a x

y

(1 y

,

y

T

вогнутости

кривой.

Если

M0

отложить на ней отрезок М0С,

b y

1 y

2

R

равный радиусу кривизны

R,

y

то точка С – центр кривизны в

– координаты

С(a,b)

точке М0.

центра кривизны

кривой

–

Эволюта

множество

центров

ее

кривизны.

Эвольвента

кривой

–

кривая, для которой кривая

является эволютой.

Кручение кривой в точке –

Кручение

скорость

отклонения

кривой

от

соприкасающейся

плоскости:

k2 lim

, где

M

t 0 S

k2

r (t),r

(t),r

(t)

– наименьший угол между

2

M0

соприкасающимися

r (t) r

(t)

плоскостями,

S – длина дуги

Понятия

Формула

Поясняющий рисунок

Частные

xz f (x x; y)

f (x; y);

прираще-

ния по х и

y z f (x; y y)

Z

по y

f (x; y)

Частная

zx

lim

x z

z f (x; y)

производ-

x

ная по х

x 0

N0

Частная

y z

z

z

lim

производ-

x

Y

y

y 0

y0

ная по y

y

Геометриче

zx (x0; y0) tg , где

x0

– угол между осью

x0 x

ский смысл

ОХ и касательной,

частных

проведенной к кривой

X

производ-

z f (x; y0 ) в точке N0

ных

z

2z

П р и м е р

x

x ( y)

y x zyx ;

Для функции z (x2 2xy

):