Материал: 1944
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предел функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Число |
А |
есть |
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
предел |
|
|
функции |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A lim f(x) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x x0 |
||||||
f (x) |
|
в |
точке |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ( |
|||||||||||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 : |
|
x x0 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
f(x) A |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 x0 x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
A |
|
lim |
f (x)(A |
lim |
f (x)) |
– |
|
|
левый |
|
|
(правый) |
предел |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 : |
|||||||||||||||
функции |
|
f (x) |
в |
|
точке |
x0 |
|
0 |
( ) 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x0 x x0 (x0 x x0 ) |
|
f (x) A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила вычисления пределов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Операции над пределами |
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечательные пределы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
lim(cf (x)) c lim |
f (x), где с=сonst |
|
|
|
Первый замечательный предел: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
sin x |
|
lim |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
lim( f (x) g(x)) lim |
f (x) lim g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
lim ( f (x)g(x)) lim f (x) lim g(x) |
Второй замечательный предел: |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
e (1 форма); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
f (x) |
|
|
lim |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim(1 x)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
lim |
|
x x0 |
|
|
, где |
lim g(x) 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x x0 |
g(x) |
lim |
g(x) |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e (2 форма). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
(x) – бесконечно |
малая |
функция |
|
в |
|
|
точке |
x x0 , |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim |
(x) 0; |
g(x) – бесконечно большая функция в точке x x0 , если |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
lim |
g(x) ( ). Тогда |
|
|
g(x) |
( |
), |
|
|
(x) ( |
0). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x) |
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Виды определенностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Виды |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
31
|
|
|
1 0; 1 ; с ; с 0; 0 0 0; |
|
|
0; ;0 ; ; |
|||||||||||||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 0; 0 0; ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ;00; 0 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) и |
(x) – эквивалентные |
|
|
бесконечно малые |
|
( ~ ) при |
||||||||||||||
x x0 lim 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Основные |
эквивалентности |
при |
x 0: |
|
|
sinx ~ x; |
tgx ~ x; |
|||||||||||||
arcsinx ~ x; arctgx ~ x; ax 1~ xlna; ln(1 x) ~ x; |
1 x 1~ x . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Неоп- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид функции |
f (x) |
реде- |
|
|
|
|
|
|
Рекомендации |
|
|
|
||||||||
|
лен- |
|
к раскрытию неопределенностей |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
Pn |
|
|
ность |
Разделить |
числитель и |
знаменатель на |
||||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
высшую степень х. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
Qm |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, если |
|
|
n m; |
|
|
|
||||
|
a0 |
a1x ... an xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
b0 |
b1 x ... bm xm |
Pn(x) an , если n m; |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
x Q |
|
|
(x) |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, если n m |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
lim |
a |
|
a |
x ... a |
|
xn |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
n |
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 b |
0 |
b x ... b |
m |
xm |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Сократить дробь на разность (x x0 ) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
f (x) содержит ирра- |
|
1-й случай. Умножить и разделить |
|||||||||||||||||||
циональности: |
|
|
функцию на сопряженное иррациональное |
||||||||||||||||||
1-й случай: |
|
|
0 , |
выражение |
|
u1(x) |
u2(x) и восполь- |
||||||||||||||
f (x) |
u1(x) |
u2(x) ; |
зоваться формулой (а b)(a b) a2 b2. |
||||||||||||||||||
2-й случай: |
|
|
0 |
2-й случай. Умножить и разделить функцию |
|||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
f (x) 3 |
u1(x) 3 u2(x) |
|
на неполный квадрат разности (суммы) и |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
воспользоваться |
формулами |
сокращен- |
||||||||||||
f (x) |
|
|
|
|
|
ного умножения |
(a b)(a2 |
ab b2) a3 b3 |
|||||||||||||
содержит |
тригоно- |
0 |
Воспользоваться |
первым замечательным |
|||||||||||||||||
метрические |
функции и |
пределом или эквивалентностями |
|
||||||||||||||||||
0 |
|
||||||||||||||||||||
обратные к ним функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
f (x) |
содержит |
разность |
|
Привести дроби к общему знаменателю |
|||||||||||||||||
алгебраических дробей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Убрать один из множителей в |
|
|||||||||||||||||||
f (x) содержит произве- |
|
|
|||||||||||||||||||
дение |
бесконечно малой |
0 |
знаменатель как обратную величину: |
||||||||||||||||||
функции |
на |
бесконечно |
0 |
|
|
|
или 0 |
0 |
|
0 |
|
||||||||||
большую функцию |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
1/0 |
|
|
|
|
1/ |
|
0 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) g(x) (x) – |
|
Воспользоваться одной из форм второго |
|
показательно-степенная |
1 |
замечательного предела |
|
|
|||
00 |
Воспользоваться основным логариф- |
||
функция |
|||
|
0 |
мическим тождеством В eln B |
|
|
|
|
|
Непрерывность функции |
|
|
|
||||||
Первое определение. |
Функция |
y f (x) |
непрерывна в точке x0 , |
|||||||||||
если |
lim |
f (x): lim f (x) f (x0 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x x |
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция y f (x) |
непрерывна в точке |
x0 слева (справа), если |
||||||||||||
lim |
f (x) f (x |
0 |
) |
lim |
f (x) f (x |
0 |
) |
). |
|
|
|
|
||
x x |
|
|
|
(x x |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0 0 |
|
|
|
|
0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Критерий непрерывности. Функция y f (x) непрерывна в точке |
||||||||||||||
x0 lim |
f (x) f (x0) |
lim f (x). |
|
|
|
|
|
|||||||
x x0 0 |
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Второе определение. |
Функция |
y f (x) |
непрерывна в точке x0 , |
|||||||||||
если lim y lim ( f (x x) f (x)) 0. |
|
|
|
|
||||||||||
x 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Типы разрывов в точке х0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1род |
|
|
|
|
|
|
2 род |
|
|
Устранимый |
|
|
|
|
Неустранимый |
Бесконечный |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
Y |
Асимптота |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
x0 |
|
|
|
X |
|||
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x0 |
|
|
|
X |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) A,
x x0
однако А f (x0 ). В частности, функция может быть не определена в точке х0
|
lim |
f (x) A, |
По крайней мере, один |
|||||
|
x x0 0 |
из односторонних пре- |
||||||
|
lim |
f (x) B, |
делов |
в точке x x0 |
||||
x x0 0 |
|
|
|
|
|
|||
A B. |
|
A B |
|
– |
( lim |
f (x)) не сущест- |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 0 |
|
величина скачка |
|
|||||||
вует или бесконечен |
||||||||
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
33
Всякая элементарная функция (т.е. составленная из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, деления, умножения и операции взятия функции от функции) непрерывна в каждой точке, в которой она определена
34
Раздел 9. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Понятие производной
|
y x0 lim |
y |
|
lim |
f (x0 x) f (x0) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
x 0 x |
|
x 0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|||||
|
y x0 f (x0 |
0) |
lim |
|
– правая производная |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 0 0 x |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y x0 f (x0 |
0) |
lim |
|
|
y |
– левая производная |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 0 0 x |
|
|
|
|
|
|
|||||
Критерий производной: |
y (x0 ) A y (x0 ) y (x0 ) A. |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический |
|
|
|
смысл |
||||||
|
|
|
|
производной: |
y x0 tg . |
|
|
||||||||
y0 y |
y f (x) |
|
y y0 |
y x0 x x0 − уравнение |
|||||||||||
|
|
|
|
касательной |
к графику |
функции |
|||||||||
|
x |
|
|
y f x в точке M x0, y0 . |
производ- |
||||||||||
|
x0 |
|
|
|
Механический |
смысл |
|||||||||
|
|
|
|
ной: |
|
|
|
|
v t , |
|
|
где |
|||
|
|
|
|
|
|
s |
t |
v t a t , |
|||||||
s t −пройденный путь; v t − скорость; a t − ускорение.
Основные правила дифференцирования
1)С 0, С const ;
2)u v u v , u x , v x − дифференцируемые функции;
|
|
|
|
|
|
|
3) u v |
u v u v , C u |
C u ; |
||||
4) |
u |
|
u v u v |
; |
|
|
|
v2 |
|
||||
v |
|
|
|
|||
5) дифференцирование сложной функции: если y f u , где
ux , то yx fu ux ;
6)дифференцирование обратной функции: xy 1 .
П р и м е р. y ln x3 3x2 . |
|
|
|
yx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3x |
2 |
6x |
|
y lnu, u x3 3x2 y (lnu)u ux |
|
x3 |
3x2 |
|
|
. |
|||
u |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x3 3x2 |
||||
25