Материал: 1944

Способ

Вид

Формула для дифференцирования

задания

функции

функции

Неявный

F x, y 0

y

Fx x, y

Fy x, y

Параметричес-

x x t ,

y

y

y

t

, y

x

t

xt

кие уравнения

y y t

x

xt

xx

Показательно-

Логарифмическая производная:

степенная

v(x)

v(x)

y

функция

y u(x)

ln y lnu

(x)

v(x)lnu(x)

y

Дифференциал функции

y f (x)

Приращение функции y f x :

y f (x x) f (x; y).

y

dy

Функция y f x

дифференцируема

y0

в точке х,

если

y A x x , где

x

( x) 0

при x 0.

Дифференциал

функции –

главная

x0

часть приращения: dy A x

f

x dx.

При x 0, y dy

f x x f x f x x – формула

для приближённых вычислений.

Свойства дифференциала

u

du v u dv

d(c) 0; d u v du dv; d u v du v u dv; d

;

v2

v

П р и м е р. d(cosx2) cosх2 x dx sin(x2)dx2 sinudu.

Правило Лопиталя

lim

f x

0

,

lim

f x

, если lim

f x

существует.

x a g x

x a g x

0

x a g x

П р и м е р.

lim

x2

1

0

lim

2x

2

.

1

3

x 1 x3

0 x 1 3x2

Название

Уравнение

П р и м е р

Вертикальная асимптота

y

1

Y

x x0,

(x 2)2

lim

1

где точка х = х0

x 2 0 (x 2)2

точка бесконечного

x 2

вертикальная

разрыва

асимптота

Наклонная асимптота

x

2

y

Y

x 1

k lim

x

1,

y kx b,

y kx b

x x 1

где k lim

f x

x2

,

b lim

x

x

x

x x 1

b lim f x kx

1

О

X

x

lim

0 y x

x x 1

наклонная асимптота

Горизонтальная

у arctgx

lim arctgx

асимптота

x

2

y A,

lim arctgx

Y

f x

где А lim

x

2

A

x

y

−

( k 0 )

2

односторонние

горизонтальные

О

асимптоты

X