Материал: Варианты курсовых

Задание 1.2 анализ и расчёт однофазной цепи переменного тока

Для заданного варианта задания 1.2 (см. табл. 1.2):

1.2.1. Выписать значения параметров элементов однофазной цепи переменного тока.

1 .2.2. Пользуясь обобщённой схемой цепи (рис. 1.2), вычертить в соответствии с ГОСТ расчётную схему цепи (оставляя в её ветвях только указанные в варианте элементы) с обозначением условно положи­тель­ных направлений напряжений и токов ветвей.

1.2.3. Рассчитать однофазную цепь переменного тока методом пре­об­разования (свёртывания) схемы в следующей последовательности:

а) найти комплекс входного сопротивления схемы Z_1-3, предварительно записав выражения и определив значения комплексов соп­ротивлений ветвей Z₁, Z₂ и Z₃;

б) определить по закону Ома комплекс входного тока I₁;

в) пользуясь правилом делителя тока, рассчитать комплексы токов I₂ и I₃ в параллельных ветвях схемы;

г) рассчитать комплексы напряжений U₁ и U₂₃  ветвей;

д) записать выражения комплексов полных мощностей S₁, S₂ и S₃ ветвей и найти их значения;

е) найти комплекс полной мощности S_1-3, потребляемой цепью, и комплекс полной мощности S, отдаваемой цепи источником энергии U, и на их основе определить соответствующие активные и реактивные мо­щности.

1.2.4. Провести расчёт цепи и проверить условие баланса активных и реактивных мощностей. Допустимые расхождения в балансах мощностей  не более 3-4 %.

1.2.5. По результатам расчёта построить (рекомендуется на миллиметровой бумаге) в комплексной плоскости векторную диаграмму напряжений и токов ветвей исходной схемы цепи, выбрав масштабы для напряжений и токов таким образом, чтобы рисунок с диаграммой занимал не менее половины листа тетради. На векторной диаграмме отметить (стрелками) направления углов сдвига фаз между напряжениями и токами ветвей цепи, а также угол сдвига фаз между напряжением и током на входе цепи.

1.2.6. Провести проверку правильности расчёта задания 1.2 посредством сравнения полученных данных с данными, рассчитанными по программе тренажера МФС, установленного на компьютере в специализиро­ванной лаборатории (классе) кафедры. Инструкция по работе с трена­жёром выводится на экран дисплея при щелчке мышью на кнопке «Спра­­вка», расположенной внизу входного интерфейса тренажера МФС.

1.2.7. Сформулировать выводы по результатам выполненного задания 1.2, отметив, в частности, каков характер нагрузки для источника энергии являет собой исследуемая цепь.

Т а б л и ц а  1.2. Варианты задания 1.2 курсовой работы КР1

1.2. Краткие теоретические положения и примеры выполнения отдельных этапов задания 1.2

1.2.1. Основные определения. Токи, напряжения и ЭДС, значения кото­рых периодически изменя­ют­ся во времени по синусоидальному закону, называют сину­соида­ль­ны­ми (гар­мони­че­скими), не­редко (не совсем точно) переменными. По сра­в­не­нию с постоянным током синусоидальный имеет ряд пре­иму­­ществ, в частно­сти, производство, передача и использование электри­че­­ской энер­гии наиболее экономичны при синусоидальном токе; в цепях синусоидального тока отно­си­тель­но просто преобразовывать форму нап­ряж­ения, а также создавать трёх­фазные системы напряжения. Синусо­идаль­ные токи широко используют в ра­дио-, связной и контрольно-изме­рительной технике и в других областях.

Синусоидальную величину, например напряжение, можно задать с по­мо­щью вещественной функции времени

, (2.1)

г де u или u(t)  мгновенное значение напряжения; U_m и – амплитуда и фа­­за синусоидальной функции, или в виде вре­мен­нóй (а) или векторной диаграммы в прямоугольной х-у (б) или в комплексной Re-Im (в) плоскостях (рис. 1.2.1).

При построении временнóй диаграммы за аргумент синусоидальной функ­­­ции, например напряжения u(t), принимают время t (чему соо­твет­ствуют период T и начальное время t₀ = _u/) или угол t (чему соответствуют период T = 2 и начальная фаза _u в радианах) (см. рис. 1.2.1а). Од­нако для боль­­шей наг­ляд­ности угол _u часто выражают в градусах. Тогда аргумент t также пе­ре­­во­дят в градусы (напомним, что 1 рад  57,3^). В этом случае период T составляет 360.

Представление синусоидальных фун­кций при помощи векторов, вращающихся в направлении против хода часовой стрелки, позволяет нагля­дно показать количественные и фазовые соотношения между электрическими величинами в цепях сину­со­идального тока, и широко используется при анализе электромагнитных процессов и выводе основных соотношений между электрическими величинами.

Векторная диаграмма (ВД)  это совокупность векторов ЭДС, напря­жения и то­ка, изобра­жа­ющие в плоскости синусоидально изменя­ющи­еся с од­ной и той же частотой электрические величины. В прямоугольной системе ко­ор­ди­нат (оси x и y) эти векторы будем обозначать соответ­ству­ющими прописными буквами, под­чёркну­ты­ми снизу: вектор амплитуды напряже­ния U_m, вектор амплитуды тока I_m (рис. 1.2.1б). Длина, напри­мер, век­­тора амплитуды тока I_m, должна быть равна (в соответ­ству­ющем масштабе) ампли­ту­де то­ка I_m, а угол наклона к оси абс­цисс  его начальной фа­зе _i. В этом слу­­чае проекция вектора тока I_m на ось ординат рав­на мгновен­но­му зна­че­­нию тока в момент времени t = 0, т. е. i(0) = I_msin_i, где _i – начальная фаза тока (см. рис. 1.2.1б).

Угол сдвига фаз  = _u  _i между напряжением и током на входе цепи или на неразвлетленном ее участке при вращении векторов ос­та­ёт­ся неиз­мен­ным, поэтому при построении векторной диаграммы векторы обы­ч­но изобра­жа­ют не враща­ющи­мися, а неподвижными для момента времени t = 0 (t = 0). Знак угла  на векторных диаграммах определяют по направлению его отсчета от вектора тока I_m к век­тору напряжения U_m: если ука­занное направление угла  совпадает с направ­ле­нием частоты  вращения векторов на ВД, то угол  берётся со знаком «+» (рис. 1.2.1б), если направ­ление отсчёта угла  сов­па­да­ет с направлением хода часовой стрелки, то угол  берётся со знаком «-».

Время, в течение которого вектор напряжения (тока) совершает один оборот, на­­­зывают периодом синусоидального напряжения (тока), а величину, обратную пери­­оду Т, определяющую число периодов в секунду – циклической частотой [Гц], т.е.

(2.2)

Частота промышленных сетей в России 50 Гц, в США и Япо­­нии – 60 Гц, корабель­ных сетей – 250 Гц, сетей летательных ап­п­­а­ратов – 400 Гц, ра­дио­­тех­ниче­ских уст­ройств – сотни кило- и мегагерц, гаджетов – единицы гигагерц.

Величину, определяющую число периодов в интер­вале вре­мени, равном 2, называют угловой частотой  [рад/с].

Соотношение между периодом T, угловой  и циклической f частотами:

(2.3)

1.2.2. Средние и действующие значения синусоидальных функций. Так как среднее значение гармонического тока за пери­од T рав­но нулю, то под средним зна­че­­ни­ем тока i(t) понима­ют сред­нее в ин­тер­вале времени T/2 (рис. 1.2.2а):

(2.4)

Таким образом, среднее значение син­у­соидального то­ка I_ср равно его ам­пли­туд­ному значе­нию I_m, умноженному на 2/.

Аналогично определяют средние значения напря­же­ния и ЭДС:

Дей­ствующий ток (напряжение)  это основной эксплуа­та­ционный параметр це­пей синусо­идаль­ного тока, так как тепловое действие то­ка и механическая сила взаимо­действия про­водников с токами пропор­ци­о­нальны квадрату тока (произведению токов). Шкалы боль­шин­ства изме­­­­ри­тельных приборов (ампер­мет­ров, вольтметров) проградуированы на эти зна­чения.

Действующее значение (действующий ток) это среднеквадратичное значение синусоидального тока за время Т (рис. 1.2.2б):

, (2.5)

т. е. действующий ток равен амплитуде, делённой на .

Аналогично определяют действующие зна­чения нап­ря­­же­ния u(t) и ЭДС e(t):

, .

1.2.3. Представление синусоидальных функций комплексными числами. От векторного представления синусоидальных функций переходят к их выражению в виде комплексных функций (комплексных чисел), изо­бра­жая векторы в ком­плексной пло­скости с осями координат: Re  ось дей­стви­­­тель­ных чисел и величин и Im  ось мнимых чисел и величин (рис. 1.2.1в). При этом век­торы напряжения U_m и тока I_m при t = 0 выражают экспоненциальными функциями с мнимым аргументом и называют комплексными амплитудами

и ,

где j = =  оператор поворота векторов против хода часовой стрелки на 90 при их умножении на j; U_m и I_m – модули, а _u и _i – аргу­менты ком­плексных амплитуд напряжения U_m и тока I_m при t = 0. Отметим, что модулями комплек­сных амплитуд напряжения и тока являются амплитуды U_m и I_m, а аргументами  начальные фазы _u и _i синусоидаль­ного на­пря­жения u(t) и тока i(t).

Л ю­бая точ­ка в комплексной плоскости или вектор, направленный от начала ко­ор­ди­нат к данной точке, изображается комплексным числом A = a + jb, где а  ко­­ор­ди­­ната точки по оси действительных чисел Re; b – координата то­ч­ки по оси мнимых чисел Im (рис. 1.2.3а).

Воспользовавшись формулой Эйлера

(2.6)

запишем координаты комплекса ампли­ту­ды напря­­жения на осях Re и Im комплексной плоскости (рис. 1.2.3б):

(2.7)

Соотношение (2.7) показывает, что синусоидальная функция напряжения u(t) = = U_msin(t + _u) это проекция вращающегося вектора на мнимую ось, другими словами, это мнимая часть (без j) комп­ле­ксной амплитуды напряжения, так как

а косинусоидальная функция напряжения u(t) = U_mcos(t + _u) есть проекция вра­щающегося вектора на действительную ось или действитель­­ная часть ком­­­плексной амплитуды напряжения, так как

Например, u = 10sin(t + 45)  где В  комплексная амплитуда напряжения.