Материал: Варианты курсовых

Поделив комплексную амплитуду напряжения U_m на , получим ком­­плекс действу­ю­щего значения напряжения или комплекс напряжения:

(2.8)

По аналогии записывают комплексы ЭДС и тока , например,

i = 14,1sin(314t  30) А  I = A.

Переход от комплексов к синусо­идаль­ным фун­кциям осуществляют следующим образом:

 u(t) = U sin(t + _u ), (2.9)

 i(t) = I_m sin(t + _i) и т. д.

1.2.4. Формы записи комплексного числа, формулы перехода из одной фо­рмы записи в другую и алгебра комплексных чисел. Аналитически ком­плекс­ное чи­с­ло А мо­ж­но представить в трёх формах: в алгеб­раиче­ской A = a + jb, три­­гоно­мет­ри­ческой A = А(cos_а + jsin_а) и показательной A = (рис. 1.2.3а), т.е.

А = = А(cos_a + jsin_a) = a + jb, (2.10)

где А = |А|= и _а = arctg  модуль и аргу­мент комплексного числа А; a = Re[А] и b = Im[А]  действитель­ная и мни­мая части комплексного чи­сла А.

Если модуль А = 1, получим формулу Эйлера:

.

В соответствии с (2.10) переход от алгебраической формы А = a  jb к показательной осуществляют по формуле:

А = , (2.11)

а от показательной формы к алгебраической  через тригонометрическую:

А = = = a  j b. (2.12)

Если действительная часть комплексного числа имеет знак ми­нус, напри­мер, комплекс А = a  jb, то его аргумент определяют по формуле

_а = arctg(b/a)  . (2.13)

Например,

,

Сложение и вычитание комплексных чисел проводят в алгебраической форме:

A  B = (a₁  ja₂)  (b₁  jb₂) = (a₁  b₁)  j(a₂  b₂). (2.14)

Чтобы сложить два комплексных числа, заданных в показательной фор­ме, на­пример , вначале их нужно преобразовать в алгеб­ра­ическую форму со­г­ласно (2.12), а затем использовать соотношение (2.14).

Умножение и деление комплексных чисел удобно проводить в показательной фор­ме:

 при умножении комплексов A и B их модули перемножают, a аргументы суммируют:

; (2.15)

 при делении комплексов A и B их модули делят, а аргументы вычитают:

= . (2.16)

Если комплекс B = B = то умножение век­то­ра А на вектор B, т.е.

,

р авнозначно повороту вектора А на угол /2 против хода часовой стрелки, а умножение вектора А на оператор -j = рав­­нозначно его повороту на угол /2 по ходу часовой стрелки (см. вектор -jA на рис.1.2.4а).

Умножение же вектора A на оператор j² = 1 равнозначно повороту вектора А на угол  (см. рис.1.2.4а), т.е. получим противоположно напра­в­лен­ный вектор –А:

j²A = j .

Если комплексная величина С^* (рис. 1.2.4б) отличается от комплекса С только знаком мни­мой части, то её называют сопряжённым комплексом (это зеркальное отображение вектора С относительно оси действительных чисел Re). Итак, если

С = Се = С(cos_c + jsin_c) = a + jb, то

С^*= Се = С(cos_c  jsin_c) = a  jb. (2.17)

1.2.5. Методы анализа цепей синусоидального тока. В основе расчёта цепей синусоидального тока лежат первый и второй законы Кирхгофа, записанные для мгно­­­венных значений электрических ве­личин. Руководствуясь ком­по­нентными ура­вне­ниями элементов схе­мы цепи:

­

и записав для неё уравнения законов Кирхгофа, получают систему интегрально-диф­­­фе­рен­ци­аль­ных уравнений типа

причём правая часть этих уравнений содержит гармонические функции времени, а в левой части уравнений каждая синусо­идально изменяющаяся величина (при заданной угловой частоте ) содержит два неизвестных параметра (амплиту­ду и начальную фазу).

Задача анализа линейной электрической цепи в ус­та­новившемся режиме при гармоническом воз­действии сводится к решению сис­темы линейных дифференци­аль­ных ура­внений с пос­тоян­­ными коэф­фициентами, правыми частями кото­рых яв­ляются гармони­ческие функции времени одной и той же частоты. Для решения этих уравнений используют метод векторных диаграмм (для анализа простейших схем обычно с одним источником питания), комплексный (симво­лический) метод и реже метод переменных энергетического состояния цепи.

1.2.5. Основы комплексного (символического) метода анализа сложных схем цепей гармонического тока. При ана­лизе уста­но­вившихся процессов в сложной электрической цепи гармони­ческие функ­ции изображают комплексными числами, что позволяет перейти от интегрально-дифференциальных уравнений, составленных для мгновенных зна­­чений токов и ЭДС источников энергии, к ал­геб­раиче­ским уравнениям, составленным для комплексов токов и ЭДС.

При этом комплексными числами изображают не только гармонические ЭДС, токи и напряжения (см. п. 1.2,3 и п. 1.2.4), но и параметры пассивных элементов цепи: резисторов, индуктивных катушек и конденсаторов. Решив систему комплексных алгеб­раических уравнений, составленных на базе законов Кирхгофа, метода узловых напряжений и др., рассмотренных при анализе цепей постоянного тока, находят комплек­сные амплитуды (или комплексы действующих значений) токов и напряжений ветвей цепи, а затем переходят к их временным аналогам

Пассивный элемент электрической цепи характеризуется своим ком­­плексным сопротивлением Z_Э  компле­к­сным числом, рав­ным отношению комплекса напряжения на зажимах данного элемента к комплексу тока этого элемента, т.е.

= . (2.18)

При этом комплексное сопротивление (комплекс полного сопротивления):

 ветви с резистором: Z_R = U_R / I_R = R, т.е. вектор тока I_R в ветви с резистором совпадает по фазе с вектором напряжения U_R на его зажимах;

 ветви с индуктивной катушкой; Z_L = U_L / I_L = jX_L = X_L т.е. вектор тока I_L в ветви с индуктивной катушкой отстает по фазе от вектора напряжения U_L на его зажимах на угол, равный /2;

 ветви с конденсатором: Z_С = U_С / I_С = -jX_С = X_С т.е. вектор тока I_С в ветви с конденсатором опережает по фазе вектор напряжения U_С на его зажимах на угол, равный /2;

 RL-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RL-ветви Z = , а его аргумент  = _u  _i = arctg(X_L/R) > 0 определяет фазовый угол отста­ва­ния вектора тока I от вектора напряжения U_L на зажимах RL-ветви;

 RС-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RС-ветви Z = , а его аргумент  = _u  _i = - arctg(X_С/R) < 0 определяет фазовый угол опе­режения вектором тока I вектора напряжения U на зажимах RС-ветви;

 RLС-ветви: Z = U / I = Z , где модуль комплекса сопротивления RLС-ветви Z = , а аргумент  = _u  _i = arctg[(X_L X_C)/R] определяет фазовый сдвиг между векторами напряжения U и тока I на зажимах ветви: при X_L > X_C вектор тока отстает по фазе от вектора напряжения на угол , при X_L < X_C вектор тока опережает по фазе вектор напряжения на угол , а при X_L = X_C вектор тока совпадает по направлению в комплексной плоскости с вектором напряжения.

Величину, обратную ком­плекс­ному сопротивлению Z, называют комплексной проводимостью Y последовательной RLC-ветви, т.е.

(2.19)

где g = и = b_L  b_C  активная и реак­тив­­ная проводи­мо­сти цепи; b_L = и b_C =  индуктивная и ёмкостная про­во­ди­мости RLC-ветви.

Итак, комплексная (полная) проводимость RLC-цепи

Y = g  j(b_L  b_C) = g  jb , (2.20)