Материал: Варианты курсовых

(1.17)

а токи ветвей определяют по обобщённому закону Ома (см. (1.14)).

Пример 1.1.2. Упростить схему цепи (рис. 1.1.10а) посредством преобразования пас­сивного треугольника в эквивалентную звезду и найти токи в преобразованной схеме методом двух узлов. Токи ветвей пассивного треугольника исходной схемы найти из составленных уравнений 1ЗК для узлов треугольника и (при необходимости) уравнения 2ЗК для контура, в который входит одна из ветвей треугольника с искомым током. Параметры схемы замещения цепи: E₅ = 20 В, E₆ = 36 В; R₁ = 10 Ом, R₂ = 12 Ом, R₃ = 4 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 6 Ом, R₆ = 5 Ом.

Решение. 1. Обозначим узлы и пунктирными линиями лучи (ветви) эквивалентной звезды R_1n, R_2n, R_3n (рис. 1.1.10б), равные (см. (1.10))

2 . В результате преобразований получили схему с двумя узлами: n и 4 (рис. 1.1.11), в которой узлы исходной схемы 1, 2 и 3 стали соединениями.

3 . Расчет схемы (рис. 1.1.11) методом двух узлом проведем в три этапа:

а) выбираем базисный узел 4 и приравниваем его потенциал к нулю (₄ = 0);

б) направим узловое напряжение U_n4 от узла n к узлу 4 и найдем его значение (см. (1.1.11):

где

 собственная проводимость узла п;

в) токи ветвей определим по обобщенному закону Ома:

I₆ = (-E₆ + U_n4)G_1n6 = (36 + 8,189)  0,153 =  4,26 А,

I₄ = U_п4G_2n4 = 8,189  0,0793 = 0,65 A,

I₅ = (E₅ + U_n4)G₂ = (20 + 8,189)  0,128 = 3,61 A.

4. Определим токи сторон (ветвей) пассивного треугольника исходной схемы. С этой целью выберем условно положительные направления токов I₁, I₂ и I₃ (рис. 1.1.12) и составим уравнение 2ЗК для наружного контура:

E₆ = -R₆I₆ – R₁I₁ + R₄I₄.

Откуда ток

I₁ = (-E₆ - R₆I₆ + R₄I₄)/R₁ = (-36 + 5  4,26 + 8  0,65)/10 = - 0,95 A.

Из уравнения 1ЗК для узла 2 (см. рис. 1.1.12) I₁ + I₂ + I₄ = 0 находим ток

I₂ = - I₁ - I₄ = 0,95 – 0,65 = 0,3 А,

а из уравнения 1ЗК I₂ + I₃ – I₅ = 0 для узла 3 – ток

I₃ = -I₂ + I₅ = -0,3 + 3,61 = 3,31 А.

5. Проверим результаты расчета токов схемы цепи двумя методами:

 посредством проверки выполнения условия баланса мощностей в цепи и

 посредством схождения потенциальной диаграммы, построенной для замкнутого контура схемы цепи.

а) Условие баланса мощностей в электрической цепи. Из закона сохранения энергии следует, что сумма мощностей, отдаваемой всеми источниками энергии цепи, должна быть равна сумме мощностей, потребляемой всеми приёмниками энергии. Необходимо иметь в виду, что потребляется и отдается не мощность, а энергия в джоулях. Итак, мощность (секундная энергия), развиваемая источниками энергии в схеме цепи, дол­жна быть равна сумме мощностей резисторов схемы, т.е.

= . (1.18)

При этом произведение ЭДС источника энергии Е_k и протекающего через него тока I_k записывается в сумме слева (см. (1.18)) со знаком «+», если их направления совпадают, и со знаком «-», если они имеют противоположное направление. В последнем случае источник является приемником электрической энергии.

Для схемы цепи (рис. 1.1.12)

Е₅I₅  Е₆I₆ = 20  3,61 + 36  4,26 =

= 10  0,95² + 12  0,3² + 4  3,31² + 8  0,65² + 6  3,61² + 5  4,26² = 72,2 + 153,36 =

= 9,025 + 1,08 + 43,82 + 3,38 + 78,19 + 90,74 = 225,56  226,24 Вт.

Таким образом, условие баланса мощностей выполняется.

б) Построение потенциальной диаграммы для контура. Перед построением потенциальной диаграммы (R) выбранного контура необходимо нарисовать его схему и указать истинные (а не первоначальные условно положительные направления токов ветвей), обозначения всех узлов и точек соединений, обозначение заземленного узла, указать направление обхода контура, и только после этого провести расчёт потенциалов узлов (целесообразно и точек соединений), затем выбрать мас­штаб сопротивлений резисторов, отложив их друг за другом от 0 (по направлению обхода контура) на оси абсцисс графика, далее, выбрать масштаб для потенциалов узлов и соединений на оси ординат, и выполнить построение графика, указав у вершин изломов графика потенциалы _k соответствующих узлов и соединений.

Пример 1.1.3. Построить потенциальную диаграмму  = f(R) для контура 1-3-4-1 схемы цепи (см. рис. 1.1.12) с параметрами: Е₅ = 20 В, Е₆ = 36 В, R₃ = 4 Ом, R₅ = 6 Ом, R₆ = 5 Ом, I₃ = 3,31 А, I₅ = 3,61 А, I₆ = 4,26 А.

Решение. 1. Вычерчиваем выбранный контур с указанием истинных направлений токов в ветвях (рис. 1.1.13а). Произвольно выбираем узел контура, например, узел 1, заземляем его, т.е. считаем, что потенциал ₁ = 0.

2. Отложив последовательно значения сопротивлений резисторов по оси R (мас­штаб 2 Ом в 1 см) (рис. 1.1.13б) в соответствии с выбранным обходом контура (по ходу часовой стрелки), определяем потенциал точки 3:

₃ = ₁ – R₃I₃ = 0 – 4  3.31 = -13,24 B.

П адение напряжения R₃I₃ взято со знаком минус, так как ток I₃ (по определению) протекает от узла 1 с бóль­шим потенциалом к узлу 3 с меньшим потенциалом (₃ < ₁).

3. Вычислим потенциал точки соединения 3:

_3 = ₃ + E₅ = -13,24 + 20 = 6,76 В.

ЭДС E₅ взята со знаком плюс, так как она (по определению) действует от узла 3 с меньшим потенциалом к точке соединения 3 с бóльшим потенциалом. При переходе от узла 3 к точке соединения 3 потенциал изменяется скачком.

4. Потенциал точки 4

₄ = _3 – R₄I₄ = 6,76 – 6  3,61 = - 14,9 В.

Напряжение R₄I₄ взято со знаком минус, так как ток I₅ протекает от точки соединения 3 с бóль­шим потенциалом к узлу 4 с меньшим потенциалом (₄ < _3).

5. По аналогии (с учётом указан­ного принципа действия ЭДС и про­те­ка­ния токов) запишем потенци­алы точки соединения 5 и узла 1:

₅ = ₄ + E₆ = - 14,9 + 36 = 21,1 B (ЭДС E₆ взята со знаком плюс, так как ₅ > ₄ );

₁ = ₅ – R₆I₆ = 21,1 – 5  4,65 = 21,1 – 21,3  0 (ток I₆ протекает от точки 5 к узлу 1, поэтому потенциал ₅ > ₁ = 0).

Результаты расчёта подтверждают правильность расчета токов в ветвях схемы.

6. После переноса из левых частей уравнений потенциалов точек контура схемы вправо и сложения правых частей уравнений получим выражение 2ЗК для анализируемого контура, т.е.

E₅ + E₆ = R₃I₃ + R₅I₅ + R₆I₆.= 20 + 36 = 13,24 + 21,66 + 21,3 = 56  56,2 В.

7. Выбираем масштаб для потенциалов по оси  (10 В в 1 см) и строим потенциальную диаграмму (см. рис. 1.1.13б).

2.1.12. Метод эквивалентного генератора. Метод эквивалентного генератора (МЭГ) основан на теореме об эквивалентном генераторе, в которой сложную схему электрической цепи с произвольным числом ИН и ИТ рассматривают как активный двухполюсник (рис. П1.14) по отношению к зажимам 1 и 2 ветви с искомым током

(1.19)

где E_эг = U_12(х)  ЭДС эквивален­тного генератора, рав­­­ная напряжению холостого хода U_12(х) между зажимами 1 и 2 при отклю­чён­ном пассивном элементе ветви с сопро­ти­влением R₂; R_эг  внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, равное входному сопро­тив­лению цепи относительно разомкнутых зажимов 1 и 2 (при этом в цепи все идеальные ИН замыкают накоротко (но их внутренние сопротивления оставляют в схеме), а ветви с ИТ  размыкают).

П ример 1.1.4. Определить ток I₂ (см. рис. 1.1.12) методом эквивалентного генератора и сравнить его значение со значением, найденным в примере 1.1.2.

Р ешение 1. Разорвем ветвь с резистором R₂ и определим напряжение холостого хода между узлами 2 и 3, т. е. U_23(х) = E_эг = R₁I_1(х) + R₃I_3(х) (рис. 1.1.15а). Токи I_1(х) и I_3(х) найдем, записав уравнения законов Кирхгофа.

В схеме (рис. 1.1.15а) три ветви и два узла 1 и 4. Необходимо составить три уравнения: одно по 1ЗК и два по 2ЗК:

I_1(х)  I_3(х)  I_6(х) = 0 (1ЗК для узла 1), (1)

(R₁ + R₄)I_1(х) + (R₃ + R₅)I_3(х) + 0I_6(х) = E₅ (2ЗК для верхнего контура), (2)

0I_1(х) + (R₃ + R₅)I_3(х) – R₆I_6(х) = E₅ + E₆ (2ЗК ля нижнего контура). (3)

I_1(х)  I_3(х)  I_6(х) = 0,

18I_1(х) + 10I_3(х) + 0I_6(х) = 20,

0I_1(х) + 10I_3(х)  5I_6(х) = 56.

Воспользуемся программой ElCalc (электротехнический калькулятор), записанной на компакт-диске [2], для вычисления токов I_1(х), I_3(х) и I_6(х) системы (1)…(3) (рис. 1.1.16). Итак, имеем: I_1(х) = -0,8125 А, I_3(х) = 3,4625 А, I_6(х) = -4,275 А.

ЭДС эквивалентного генератора

E_эг = U_23(х) = R₁I_1(х) + R₃I_3(х) = -100,8125 + 43,4625 = -8,125 + 13,85 = 5,725 В.

2. Чтобы найти внутреннее сопротивление эквивалентного генератора R_ЭГ = R₂₃ (рис. 1.1.15б), заменим треугольник со сторонами R₁, R₄ и R₆ эквивалентной звездой с лучами R₁₄, R₁₆ и R₄₆ (рис.. 1.1.15в), равными

Т огда внутренне сопротивление эквивалентного генератора (см. 1.1.15в)

R_ЭГ = R₂₃ = R₂₄ +

Ом.

3. Искомый ток

А.

Значения тока I₂, полученные при расчете двумя методами, практически идентичны, что подтверждает правильность его расчета._.

П р и м е ч а н и е. Напряжение U_23(х) = E_эг = R₁I_1(х) + R₃I_3(х) можно найти, составив два уравнения по методу контурных токов, или методом двух узлов, заземлив узел 1 (или 4) и определив узловое напряжение U₄₁ (или U₁₄), а затем токи I_1(х) и I_3(х) по обобщенному закону Ома.