Материал: Варианты курсовых

1.1.6. Метод расчёта, основанный на законах Кирхгофа. Анализ и расчёт лю­бой электрической цепи постоянного тока можно провести в результате совместного решения системы уравнений, составленных посредством первого и второго законов Кирхгофа. Число уравнений в системе равно числу ветвей в цепи (N_МЗК = В), при этом число независимых уравнений, которые можно запи­сать по 1ЗК, на од­но уравнение меньше числа узлов, т. е.

N_1ЗК = У  1, (1.4)

а число независи­мых уравнений, записываемых по 2ЗК,

N_2ЗК = B  (У  1), (1.5)

где В  число ветвей с неизвестными токами (без ветвей с источниками тока); У  чи­сло узлов.

Составим посредством законов Кирхгофа необходи­мое число уравнений для определения токов ветвей схемы (рис. 1.1.2), если заданы ЭДС E₁ и E₂ источников напряжения, ток J источника тока и соп­ротивления R₁,…, R₅ резисторов.

N_МЗК = N_1ЗК + N_2ЗК = В.

С этой целью:

1. Проведём топологический анализ схемы для определения числа независимых урав­­нений. В схеме B₁ = 6 вет­вей, У = 3 узла. Од­нако в ветви с ИТ ток J задан, поэтому число независимых ветвей В = 5. Число независимых урав­нений для решения задачи по методу законов Кирхгофа

N_МЗК = В = 5.

2 . Пронумеруем узлы и выберем произвольно направления токов в вет­вях (рис. 1.1.3).

3 . Составим уравнения по 1ЗК (N_1ЗК = У  1 = 3  1 = 2):

для узла 1: I₁  I₂  J  I₃ = 0, (1)

для узла 2: I₃  I₄ + I₅ = 0. (2)

4. Выберем независимые кон­ту­ры и направление обхода контуров, на­при­­мер, по ходу часовой стре­лки. В на­шем случае имеется три независимых контура, так как ветвь с заданным током J ИТ в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитывается:

N_2ЗК = B  (У  1) = 5 – (3 – 1) = 3.

5. Составим три уравнения по 2ЗК:

для контура 1'-1-0-1': E₁ = R₁I₁ + R₂I₂, (3)

для контура 1-2-0-1: 0 = R₃I₃ + R₄I₄  R₂I₂, (4)

для контура 2-2'-0-2: E₂ = R₅I₅  R₄I₄ . (5)

6. Решив систему уравнений (1)…(5), например, методом Гаусса или с использованием формул Крамера, можно определить все неизвестные токи ветвей цепи.

1.1.7. Структурные преобразования схем замещения цепей. Расчёт элек­трических цепей можно упростить путём преобразования их схем замещения в более простые и удобные для расчёта. Такие преобразования приводят, как пра­вило, к уменьшению числа узлов схемы и, следовательно, необходимого числа исходных уравнений для расчёта.

Так, ветвь с последовательно соединёнными резисторами R₁, R₂, … , R_n может быть преобразована в простую схему с одним резистивным эле­ментом (рис. 1.1.4а), эквивалентное сопротивление которого равно сумме сопротивлений:

(1.6)

а ветвь с несколькими последовательно соединёнными источниками напряжения и резисторами (рис. 1.1.4б) также может быть преобра­зована в ветвь с одним эквивалентным ИН с параметрами R_э и Е_э (рис. 1.1.4в):

и (1.7)

П араллельно соединённые резисторы с сопротивлениями R₁, R₂,…, R_n (рис. 1.1.5а) можно заменить одним резистором с проводимостью G_э (рис. 1.1.5б).

Так как напряжение на всех ветвях одно и тоже, равное U, то токи ветвей

где ,  проводимости ветвей в сименсах.

В схеме с двумя узлами 1 и 2 (см. рис. 1.1.5а) ток на входе цепи

а эквивалентная про­водимость и эквивалентное сопротивление пассивного участка цепи между узлами 1 и 2 равны

и . (1.8)

Э лектрические схемы, имеющие сочетание последовательного и параллельного соединений участков цепи (смешанное соединение), могут быть преобразованы в более простые эквивалентные схемы путём замены параллельных ветвей одной ветвью, а последовательно соединённые участки цепи – одним участком. Так, например, для схемы рис. 1.1.6а вначале нужно найти эквивалентное сопротивление параллельного участка 23 с тремя параллельно включенными резисторами

, (1.9)

а затем сложить его с сопротивлением R₁ (рис. 1.1.6б, в):

В электрических цепях элементы могут быть соединены по схеме треугольник или по схеме звезда (рис. 1.1.7).Треугольником называют соединение трёх элементов, в котором конец первого элемента со­еди­нён с началом вто­рого, конец второго с началом третьего, а конец тре­тьего с началом первого (рис. 1.1.7а). Звездой называют соединение, в котором кон­­цы трёх элементов со­единены в одну общую точ­ку п (рис. 1.1.7б).

С целью уменьшения числа узлов в схеме цепи, соединения элементов треугольником преобразуют в эквивалентное соединение звездой посредством сле­­­ду­ющих формул:

, , (1.10)

т.е. сопротивление луча эквивалентной звезды равно дроби, в числителе которой произведение двух сопротивлений сторон треугольника, примыкающих к рассматриваемому узлу, делённому на сумму всех сопротивлений сторон треугольника.

1.1.8. Правило делителя напряжения. В ветви, состоящей их двух после­дова­те­льно соединённых резисторов (рис. 1.1.8а), напряжение на одном из резисторов равно при­ложенному к ветви напряжению, умноженному на сопротивление данного резистора и делённому на сумму сопротивлений обоих резисторов, т.е.

и (1.11)

1.1.9. Правило делителя тока. Для цепи с двумя параллельно соеди­нёнными резисторами (рис. 1.1.8б) ток одной из двух параллельных ветвей цепи равен подходящему к разветвлению току I, ум­ноженному на сопро­тивление другой (противоположной) ве­тви и делён­ному на сумму соп­ротивлений обеих ветвей, т.е.

и (1.12)

1.1.10. Метод узловых напряжений. Метод узловых напряжений (МУН) базируется на первом законе Кирхгофа и обобщенном законе Ома. В нём за вспомогательные расчётные величины принимают так называемые узловые напряжения U₁₃  напряжения между каждым k-м узлом схемы и выбранным базисным узлом (его будем обозначать цифрой 0), потенциал которого принимают равным нулю. Число уравнений для расчёта схемы по МУН

N_МУН = У  1. (1.13)

Для каждого узла, кроме базисного, составляют уравнение по 1ЗК. В полученных уравнениях токи ветвей, присоединённых к базисному узлу, выражают через узловые напряжения и проводимости посредством обобщённого закона Ома:

(1.14)

где G₁₃ = 1/R_k  проводимость k-й ветви.

Ток в ветви, подключённой к узлам k и j,

= (E_kj  U_k0 + U_j0)G_kj, (1.15)

где U_kj = U_k0  U_j0 – межузловое напряжение; G_kj = 1/R_kj  меж­узловая про­водимость.

После группирования членов при соответствующих узловых напряжениях и переноса E_kG_k и токов J_k источников тока в правую часть, получают систему уравнений относительно неизвестных узловых напряжений.

Структура каждого уравнения одинаковая, например, уравнение относительно узла 1:

G₁₁U₁₀  G₁₂U₂₀  ...  G_1nU_n0 = + (1.16)

где G₁₁ = G₁ + G₂ + ... + G_n  собственная проводимость узла 1, равная сумме проводимостей ветвей, присоединённых к узлу 1 (проводимости ветвей с ИТ не учитываются, так как G_j = 1/R_j = 0 (R_j = )); G₁₂, ..., G_1n – меж­узловые проводимости; +  узловой ток узла 1;  алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, присоединённых к узлу 1, на проводимости этих ветвей, причём со знаком «+» («-») записывают произведения, если ЭДС направлена к узлу 1 (от узла 1);  алгебраическая сумма токов источников тока ветвей, подключённых к узлу 1, при­чём токи J_k записывают со знаком «+» («-»), если они направлены к узлу 1 (от узла 1).

Решив систему уравнений относительно узловых напряжений, определяют межузловые напряжения и токи ветвей посредством соотношений (1.14) и (1.15).

Пример 1.1.1. Пользуясь методом узловых напряжений, определить токи ветвей схе­мы (рис. 1.1.9), если E₁ = 12 В, E₅ = 15 В, J = 2 А, R₁ = 1 Ом, R₂ = 5 Ом, R₃ = = R₄ = 10 Ом, R₅ = 1 Ом. В схеме 6 ветвей и 3 узла.

Р ешение. 1. Выбираем базисный узел 0 и направления узловых напряжений U₁₀ и U₂₀ от узлов 1 и 2 к базисному (см. рис. 1.1.9).

2. Составляем (N_МУН = У  1 = 3  1 = 2) уравнения по МУН:

для узла 1: G₁₁U₁₀  G₁₂U₂₀ = E₁G₁  J,

для узла 2: G₂₁U₁₀ + G₂₂U₂₀ = E₅G₅,

где G₁₁ = G₁ + G₂ + G₃, G₁₂ = G₃ = 1/R₃, G₂₂ = G₃ + G₄ + G₅, G₂₁ = G₁₂ = G₃.

3. После подстановки числовых значений (G₁ = 1/R₁ = 1 См, G₂ = 0,2 См, G₃ = = G₄ = 0,1 См, G₅ = 1 См) имеем:

1,3U₁₀  0,1U₂₀ = 12  2 = 10,

 0,1U₁₀ + 1,2U₂₀ = 15.

4. Воспользовавшись форму­­лами Крамера, находим узловые нап­ря­жения:

Примечание. Вычисление узловых напряжений нужно проводить с большой точностью. В данном примере достаточно округлить четвёртый знак после запятой.

5. Межузловое напряжение

U₁₂ = U₁₀  U₂₀ = 8,7097  13,226 =  4,5163 B.

6. Искомые токи ветвей (см. выбранные направления токов ветвей на рис. 1.1.9):

I₁ = (E₁  U₁₀)G₁ = 3,29 A, I₂ = U₁₀G₂ = 1,754 A,

I₃ = U₁₂G₃ =  0,452 A, I₄ = U₂₀G₄ = 1,323 A,

I₅ = (E₅ + U₂₀)G₅ = 1,774 A.

7. Проверим результаты расчёта токов. Согласно 1ЗК для узла 2:

= I₃  I₄  I₅ =  0,452  1,323 + 1,774 = 0.

1.1.11. Метод двух узлов. Метод двух узлов является частным случаем метода узловых напряжений и применяется для расчёта схем, содержащих (после преобразования) два узла и произвольное число параллельных пассивных и активных ветвей. Для расчёта токов ветвей цепи составляют и решают одно уравнение узлового напряжения , равное алгебраической сумме токов, создаваемых всеми источниками напряжения и источниками тока цепи, делённой на собственную проводимость узла , т.е.