Материал: Варианты курсовых

где и  = arctg  модуль и аргумент ком­плексной проводимости цепи.

1.2.6. Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной форме. Для ветви с пассивными элементами при совпадении условно положительных на­п­рав­лений тока и напряжения выражение закона Ома имеет вид

, (2.21)

где Z = Ze^j  комплек­с сопротивления ветви.

Если  > 0, то ток отстаёт по фазе от напряжения, при  < 0 ток опережает по фазе напряжение.

Так как полная комплексная прово­димость Y = 1/Z, то ток

I = UY = UYe . (2.22)

Запишем обоб­щён­ный закон Ома для ветви с n последовательно соединёнными источниками напря­жения и пас­сивными элементами:

(2.23)

где Е_k и U  комплекс k-й ЭДС и комплекс напряжения на зажимах ветви; при этом знак плюс записывают при совпадении направлений ЭДС и напряжения c нап­ра­влением тока ветви, а знак минус  при их противоположном направле­ни­и.

Первый закон Кирхгофа (1ЗК) гласит, что в лю­бом узле комплексной схемы замещения цепи алгебраи­ческая сумма комплексов токов равна нулю, т. е.

. (2.24)

Условимся комплексы токов, направленные к узлу, записывать со зна­ком плюс, а комплексы токов, направленные от узла, записывать со зна­ком минус.

Второй закон Кирхгофа (2ЗК) гласит, что в лю­бом контуре схемы цепи алгебраическая сумма комплексов ЭДС равна алгебраической сумме комплексов напряже­ний на пассивных элементах этого контура, т.е.

(2.25)

где (n) и (m)  число ЭДС и пассивных элементов в выбранном контуре.

Комплексы ЭДС и комплексы напряжений (токов) на пассивных эле­ментах контура записывают со знаком плюс, если их направления совпа­да­ют с нап­равлением обхода контура.

Пример 1.2.1. Составить необходимое число уравнений методом законов Кирхго­фа относи­тельно неизвестных компле­к­­сов то­ков ветвей (I₁, I₂ и I₃) схе­мы цепи (рис. 1.2.5).

Решение. В соответствии с алгорит­мом ме­тода зако­нов Кирх­го­фа:

1. Выбираем напра­в­­ле­ния ком­пле­к­сов то­ков ветвей и обозна­чаем их стрелками на схеме (см. рис. 1.2.5).

2 . Уто­чняем чис­ло узлов (У = 2) и вет­вей (В = 3) схемы цепи с неиз­вест­ными тока­ми.

3. Состав­ляем уравнение по 1ЗК для узла 1:

4. Выбираем независимые кон­ту­ры и нап­равление обхода контуров по часовой стрелке. В нашем уп­раж­нении имеется два независи­мых контура (левый и средний).

Внимание! Ветвь с за­данным комплексом тока J источника тока в уравнениях, составляемых по 2ЗК, не учитыва­ется.

Запишем уравнения по 2ЗК (для неза­виси­мых контуров):

Пример 1.2.2. Рас­считать схему цепи с одним источником напряжения (рис. 1.2.6a) со смешанным соединением ветвей методов преобразования (свертывания) схемы и с помощью правила делителя тока. Цепь подключена к источнику синусоидального напряжения, комплекс которого U.

Р ешение. 1. Запишем комплексы сопротивлений ветвей:

, ,

.

2. Комплекс входного сопротивления Z = Z₁ + .

3. Комплекс входного тока цепи I₁ = .

4. Компле­ксы то­ков ветвей определим, воспользовавшись правилом делителя тока:

5. Комплексы напряжения ветвей:

Век­торн­ая диаграмма то­ков и нап­ряжений це­пи представ­лен­а на рис. 1.2.6б, при этом

1.2.7. Комплексная мощность цепи синусоидального тока. Комплексной мощ­­­­­ностью цепи на­зывают комплексное число S, мо­дуль которого равен полной мощности S = UI цепи, а аргумент  углу сдвига фаз  = _u  _i между током и напряжением на её входе, т.е.

S = Se ^j = UIe ^{j(u  i)} = Ue ^juIe^i = U , ( 2.26)

т.е. комплексная мощность цепи равна произведению комплекса напряжения U на входной комплексно-сопряжённый ток

Переходя от показательной формы записи S к тригонометрической

S = Scos + jSsin,

устанавливаем, что действительная часть комплексной мощности равна ак­тив­ной мощности цепи

Р = Re[S] = Scos. (2.27)

Мнимая часть комплексной мощности S представляет собой реак­тив­ную мощность цепи

Q = Im[S] = Ssin . (2.28)

С учётом (2.27) и (2.28) запишем выражение (2.26) следу­ющим образом:

S = P + jQ = . (2.29)

Итак, комплексная мощность S пред­ставляет собой ком­плекс­ное число, действительная часть которо­го равна активной мощ­ности цепи P, а мнимая  реактивной Q, причём если перед сим­волом j стоит знак «плюс», то это реактивная индуктивная мощность +Q_L, а если знак «минус»  реактивная ёмкостная мощность Q_С.

Пример 1.2.3. Рассчитать полную, активную и реактивную мощности цепи, комплексы тока и напряжения на зажимах которой U = 10e^j30 B и I = 2e^j45A.

Решение. 1. Комплексно-сопряжённый ток = 2e^j45A.

2. Комплексная мощность S = U = 10e^j302e^j45 = 20e^j75 ВА.

3. Активная мощность Р = Scos = 20cos75  5,2 Вт.

4. Реактивная мощность Q = Q_L = Ssin = 20sin75  19,3 вар.

1.2.8. Баланс мощностей в цепи синусоидального тока. Из закона сохранения энергии следует, что сум­ма мгновенных мощностей, отдаваемых всеми источниками цепи, дол­­жна быть равна сумме мгновенных мощностей, потребляемых всеми при­ём­никами энергии.

= , (2.30)

где n и m  число источников и приёмников энергии в цепи.

Заметим, что потребляется и отдаётся не мощность, а элек­три­че­ская энергия.

Уравнение (2.30) называют уравнением (условием) баланса мощностей.

В цепях синусоидального тока рассматривают баланс комплексных, актив­ных и реактивных мощностей.

Условием баланса комплексных мощностей является соотношение, аналогичное (2.30):

. (2.31)

Для практических расчётов условие баланса комплексных мощностей це­пи представляют в следующем виде:

(2.32)

при этом слагаемое, стоящие в левой части (2.32), берется со знаком «плюс», если совпадают направления тока I_k и ЭДС Е_k источника напряжения. В противном слу­чае эти слагаемые берут со знаком «минус».

Из условия баланса комплексных мощностей следуют условия баланса активных и реактивных мощностей:

 активная мощность, отдаваемая всеми источниками энергии, равна ак­тив­­ной мощности всех её потребителей (расходуемая в резистив­ных элементах цепи):

(2.33)

 реактивная мощность всех источников равна реактивной мощ­ности всех потребителей (она циркулирует между источниками энергии и её пот­реби­телями):

(2.34)

где R_k и jХ_k = jХ_Lk  jХ_Сk  действительная и мнимая части комплексного сопротивления k-го пассивного элемента.

П ример 1.2.4. Для цепи (рис. 1.2.7) с параметрами: U = 10e^j45 B, jX_L1 = j2,5 Ом, R₂ = 4 Ом, jX_L2 = j3 Ом, jX_C3 = j5 Ом рассчитать комплексы напряжений и токов ветвей. Результаты расчёта про­верить посредством схождения баланса мощностей.

Решение. 1. Определим комплекс­ы сопротивлений ветвей:

2. Комплекс входного сопротивления

Z = Z₁ +

3. Комплекс входного тока I = I₁ = U/Z = 20e^j45/5 = 4e^j45 A.

4. Компле­ксы то­ков ветвей разветвления:

5. Комплексы напряжений ветвей:

6. Комплексная мощность, отдаваемая источником,

должна быть равна комплексной мощности, потребляемой приёмниками:

Таким образом, условие баланса комплексных мощностей с допустимой погре­шностью вы­пол­нено. При этом активная мощность источника энергии и приёмников Р_ист  Р_пр = 80 Вт, а реактивные мощности Q_ист  Q_пр = 0.