Материал: Уравнения и неравенства с двумя переменными

№ 761.Р е ш е н и еВыбираем 5 букв для обозначения точек из 26 букв в алфавите; порядок выбора имеет значение (какую точку какой буквой обозначим): .О т в е т: 7 893 600 способов.№ 763.Р е ш е н и еВыбираем  из  10 цифр семь, причем первый выбор делается из 9 цифр (без нуля). Используя метод исключения лишних вариантов, получаем:  1·  2 · 3 · 4 · 5 · 7 · 8 · 9 · 9 = 544320.О т в е т: 544320.№ 764.Р е ш е н и еВыбираем 3 цифры из 5 данных, причем:а) последней  цифрой  должна  быть  2  или  4;  количество  вариантов   (фиксирована 2) +   (фиксирована 4) = 2 ·   = 2 · 3 · 4 = = 24.б) последней  цифрой  должна  быть  5;  количество  вариантов  равно   (фиксирована 5) =   = 3 · 4 = 12.О т в е т: а) 24 числа; б) 12 чисел.Прежде чем приступить к самостоятельной работе, можно решить два задания повышенной сложности с факториалами.№ 837.Р е ш е н и еЧисло оканчивается одним нулем, если среди множителей, на которые оно разлагается, есть одно число 10; оканчивается двумя нулями, если есть два множителя 10; и тремя нулями – если есть три множителя 10.Поскольку п! есть произведение п последовательных натуральных чисел, то в нем каждый второй множитель четный, то есть содержит в разложении число 2, а каждый пятый множитель кратен 5. Поэтому каждый пятый множитель в п! добавляет в разложение этого числа одно число 10.Таким образом,а) 5! содержит двойки и одну 5, что дает один множитель 10, то есть 5! заканчивается одним нулем;б) 10! содержит двойки и две 5, что дает два множителя 10, то есть 10! оканчивается двумя нулями;в) 15! содержит двойки и три 5, что дает три множителя 10, то есть 15! оканчивается тремя нулями.О т в е т: а) 5!; б) 10!; в) 15!№ 840.Р е ш е н и еа)   = 42;  

 = 42;

п · (п + 1) = 42; п = 6.

З а м е ч а н и е: квадратное уравнение можно не решать, так как второй корень не будет натуральным числом.

б) 



О т в е т: а) п = 6; б) п = 5.

IV. Самостоятельная работа.В а р и а н т  11. Сколькими способами пять школьников, сдающих экзамен, могут занять места в классе, в котором стоят 20 одноместных столов?2. Решить уравнение:п! = 7 (п – 1)!.3. Сколькими нулями оканчивается число 12!?В а р и а н т  21. Сколькими способами семь малышей могут занять места в комнате детского сада, в которой стоит 18 детских стульчиков?2. Решить уравнение:п! = 12 (п – 1)!.3. Сколькими нулями оканчивается число 16!?Р е ш е н и еВ а р и а н т  11. Выбираем пять столов для школьников из 20 имеющихся (порядок выбора учитывается):  = 16 · 17 · 18 · 19 · 20 = 1 860 480.О т в е т: 1 860 480 способов.2. п! = 7 (п – 1)!;    п (п – 1)! = 7 (п – 1)!;    п = 7.О т в е т: п = 7.3. В числе 12! содержится две пятерки и двойки, что дает два множителя 10. Значит, 12! заканчивается двумя нулями.О т в е т: двумя нулями.В а р и а н т  21. Выбираем семь стульчиков из 18 имеющихся (порядок выбора имеет значение):  = 12 · 13 · 14 · 15 · 16 · 17 · 18 = 160 392 960.О т в е т: 160 392 960 способов.2. п! = 12 (п – 1)!;    п (п – 1)! = 12 (п – 1)!;    п = 12.О т в е т: п = 12.3. В числе 16! содержится три пятерки и двойки, что дает три множителя 10. Значит, 16! заканчивается тремя нулями.О т в е т: тремя нулями.V. Итоги урока.В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:– Что называется размещением из п элементов по k?– Запишите формулу нахождения   через факториалы.– Запишите   по комбинаторному правилу умножения.Домашнее задание: № 835, № 836.З а д а ч а. Из трехзначных чисел, записанных с помощью цифр 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 (без повторения цифр), сколько таких, в которых:а) не встречаются цифры 6 и 7;б) цифра 8 является последней?                        

               У р о к  77                                                                                  Дата:
СОЧЕТАНИЕ ИЗ п ЭЛЕМЕНТОВ ПО k (k ≤ п)Цели: ввести понятие сочетания из п элементов по k (k ≤ п); вывести формулу нахождения числа сочетаний из п элементов по k; формировать умения решать комбинаторные задачи с применением данной формулы.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.1. З а д а ч а. В футбольном турнире участвуют несколько команд. Оказалось, что все они для трусов и футболок использовали белый, красный, синий, зеленый или желтый цвета, причем были представлены все возможные варианты.а) Сколько команд участвовали в турнире?б) Сколько команд играли в зеленых футболках?в) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета?г) У скольких команд футболки и трусы были разного цвета, причем трусы были не красные?2. Найти значение выражения:а) Р₄ + Р₃;           б) Р₆ – Р₅;           в)  ;           г)  ;д)  ;           е)  ;           ж)  ;           з)  .III. Объяснение нового материала.1. Объяснение нового материала целесообразно начать с решения практической задачи:«Сколькими способами можно смешать по три краски из имеющихся пяти?».Р е ш е н и еОбозначим имеющиеся краски буквами латинского алфавита a, b, c, d, e. Выпишем возможные варианты смешивания красок, учитывая, что от порядка расположения красок результат не зависит:abc, abd, abe, ace, adebcd, bce, bdecdeМы указали различные способы смешивания красок, в которых по-разному сочетаются три краски из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из 5 элементов по 3.2. Определение. Сочетанием из п элементов по k называют любое множество,  составленное  из  k  элементов,  выбранных  из  данных  п элементов.П о д ч е р к и в а е м, что, в отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения

, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из п элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

3. Обозначение.   (читается «С из п по k»).

В рассмотренном примере мы нашли, что   = 10.

4. Вывод формулы числа сочетаний из п по k, где k ≤ п.

В отличие от предыдущих тем, при доказательстве мы опираемся не напрямую на комбинаторное правило умножения, а на ранее выведенные формулы числа перестановок и размещений.

Сперва замечаем, что   (по комбинаторному правилу умножения), значит,  .

И затем проводим аналогичные рассуждения для общего случая:



Учитывая, что  , где п ≤ k, получаем, что

– формула вычисления числа сочетаний    из п по k, где k ≤ п.

5. Рассматриваем примеры задач на нахождение числа сочетаний из учебника на с. 184–185.IV. Формирование умений и навыков.Рассматриваем задачи на применение формулы нахождения числа сочетаний из п по k. Для предотвращения формального применения формулы требуем обоснования ее выбора.Упражнения:№ 768.Р е ш е н и еВыбираем 2 учащихся из 7, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 7 по 2: .О т в е т: 21 способ.№ 770.Р е ш е н и еВыбор 6 из 10 без учета порядка: .О т в е т: 210 способов.№ 772.Р е ш е н и еИз 11 человек 5 должны поехать в командировку:а) Заведующий едет, нужно выбрать еще 4 из 10 оставшихся: