Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

g( ) = M(X| ).

Подчеркнем еще раз, что условное математическое ожидание М(Х|Y) является функцией от случайной величины, т.е. также случайной величиной.

Приведем примеры.

Пример 7.1. Пусть и — числа успехов в первом и втором испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р. Найдем M( | ).

,

.

Таким образом, значения M( |0) и M( |1). условного математического ожидания совпадают для обоих значений 0 и 1 случайной величины и равны р. Поэтому

.

Пример 7.2. Найдем условное математическое ожидание М(Х|Y) случайной величины X — числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, относительно случайной величины Y — числа очков, выпавших на нижней грани (см. пример 7.2).

Полученный результат в терминах условного математического ожидания можно записать в виде

M(X|Y) = 7-Y.

Определение 7.5. Для непрерывной двумерной случайной величины (X, У) значением М(Х|Y),Y=у) условного математического ожидания непрерывной случайной величины X при условии Y = у называют число

,

где

является условной плотностью распределения случайной вели­чины X при условии Y = у.

Определение 7.6. Для непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) условным математическим ожиданием М(Х|Y) непрерывной случайной величины X относительно случайной величины Y называют функцию g(Y) = M(X|Y) от случайной величины Y, принимающую значение g(у) = M(Х|у) при Y = у.

Определение 7.7. Функцию g(у) называют функцией регрессии, или просто регрессией, случайной величины X на случайную величину Y, а ее график — линией регрессии случайной величины X на случайную величину Y, или просто

X на Y.

Линия регрессии графически изображает зависимость „в среднем" случайной величины X от значения случайной величины Y.

Совершенно аналогично определяют значение М(Y|х) условного математического ожидания случайной величины Y при условии X = х и условное математическое ожидание М(Y|Х) = h(X). При этом функцию h(x) называют функцией регрес­сии, или просто регрессией, случайной величины Y на случай­ную величину X, а ее график — линией регрессии Y на Х. Линия регрессии Y на X графически изображает зависимость

“среднем” случайной величины Y от значения случайной величины X.

8. Предельные теоремы теории вероятностей

С самого начала изучения курса теории вероятностей мы говорили о том, что практическое применение методов этой математической дисциплины основывается на законе предельного постоянства частоты события, установленном эмпирически. Согласно этому закону, если один и тот же опыт повторяется многократно, то частота появления конкретного случайного события теряет свойства случайности и приближается к некоторому пределу, который в соответствии со статистическим определением вероятности и называют вероятностью. Однако для того чтобы теория согласовывалась с практикой, при аксиоматическом определении вероятности, которое мы использовали, этот закон предельного постоянства частоты должен быть обоснован теоретически. Иначе говоря, он должен быть сформулирован и доказан в виде одной или нескольких теорем. В теории вероятностей теоремы такого типа обычно называют различными формами закона больших чисел. В настоящей главе мы докажем некоторые формы этого закона, которые, в частности, поясняют смысл математического ожидания случайной величины, и то, почему его называют также средним значением.

1. Сходимость последовательности случайных величин

Пусть представляет собой последовательность случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве. Опишем типы сходимости последовательности к некоторой случайной величине X.

Сразу же отметим, что естественно все определения сходимости вводить таким образом, чтобы сходимость последовательности случайных величин к случайной величине X была эквивалентна сходимости последовательности

случайных величин к нулю, т.е. к случайной величине, принимающей всего одно значение 0. Поэтому далее мы будем говорить только о сходимости последовательности к нулю. Поскольку каждая из случайных величин представляет собой функцию, заданную на пространстве элементарных исходов , и существуют разные определения сходимости функций, то можно ввести и различные определения сходимости последовательности случайных величин.

Определение 8.1. Если последовательность случайных величин удовлетворяет условию Р(A) = 1, то говорят о сходимости этой последовательности с вероятностью 1, или почти наверное.

Сходимость к нулю с вероятностью 1 записывается в виде

.

В дальнейшем мы в основном будем использовать сходимость по вероятности.

Определение 8.2. Если последовательность случайных величин для любого > 0 удовлетворяет условию

,

то говорят о сходимости этой последовательности по вероятности. Сходимость к нулю по вероятности записывается в виде

.

Смысл сходимости по вероятности заключается в том, что вероятность нарушения неравенства при увеличении п становится сколь угодно малой.

Наконец, во многих приложениях теории вероятностей важную роль играет сходимость в среднем квадратичном.

Определение 8.3. Если последовательность случайных величин удовлетворяет условию

, то говорят о сходимости этой последовательности в среднем квадратичном. Сходимость к нулю в среднем квадратичном записывается в виде

.

0. 8.2. Неравенства Чебышева. Закон больших чисел

Прежде чем приступить к рассмотрению закона больших чисел, рассмотрим два неравенства Чебышева. Заметим, что неравенства Чебышева представляют и самостоятельный интерес, поскольку в современной теории вероятностей широко используются неравенства такого типа.

Теорема 8.1. Для каждой неотрицательной случайной величины X, имеющей математическое ожидание M(X), при любом > 0 справедливо соотношение

, называемое первым неравенством Чебышева.

Пример 8.1. Пусть X — время опоздания студента на лекцию, причем известно, что M(X) = 1 мин. Воспользовавшись первым неравенством Чебышева, оценим вероятность того, что студент опоздает не менее, чем на 5 мин. Имеем

.

Таким образом, искомая вероятность не более 0,2, т.е. в среднем из каждых пяти студентов опаздывает, по крайней мере, на 5 мин не более чем один студент.

Теорема 8.2. Для каждой случайной величины Х, имеющей дисперсию , при любом > 0 справедливо второе неравенство Чебышева

.

Пример 8.2. Пусть в условиях предыдущего примера известно дополнительно, что . Оценим минимальное значение , при котором вероятность опоздания студента на время не менее не превышает заданного значения = 0,1.

Для решения поставленной задачи воспользуемся вторым неравенством Чебышева. Тогда

.

Значит,

.

Подставляя конкретные значения, имеем

.

Таким образом, вероятность опоздания студента на время более 4,16 мин не более 0,1.Сравнивая полученный результат с результатом примера 8.1, видим, что дополнительная информация о дисперсии времени опоздания позволяет дать более точную оценку искомой вероятности.

Определение 8.5. Последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел (слабому), если для любого > 0