Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

ГОУВПО

«Воронежский государственный технический университет »

Справочник магнитного диска (Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования)

А.А. Катрахова В.С. Купцов А.В. Купцов

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТей

И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Учебное пособие

Вер-Стат.doc 11,9 Mb 14.03.2011 14,1 уч.-изд. л.

ГОУВПО «Воронежский государственный

технический университет »

А.А. Катрахова В.С. Купцов А.В. Купцов

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТей

И ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

Утверждено Редакционно-издательским советом

университета в качестве учебного пособия

Воронеж 2011

УДК 517.53

Катрахова А.А. Теория вероятностей и элементы математической статистики: учеб. пособие / А.А. Катрахова, В.С. Купцов, А.В. Купцов. Воронеж: ГОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет», 2011. -241 c.

Учебное пособие состоит из двенадцати глав: в первых восьми главах излагаются основы теории вероятностей, а в остальных главах – элементы математической статистики. Приводятся образцы решения задач и упражнения в виде примеров и задач.

Издание соответствует требованиям Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования для студентов специальностей 220201 « Управление и информатика в технических системах», 140604 «Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов», 140601 «Электромеханика», 110302 «Электрификация и автоматизация сельского хозяйства», дисциплине «Математика».

учебное пособие предназначено для студентов очной формы обучения.

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержится в файле

«Вер-Стат.doc»

Табл. 29. Ил. 39. Библиогр.: 4 назв.

Рецензенты: кафедра дифференциальных уравнений

Воронежского государственного университета

(зав. кафедрой д-р физ.- мат. наук,

проф. А.И. Шашкин);

д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Задорожний

 Катрахова А.А., Купцов В.С., Купцов А.В., 2011

 Оформление. ГОУВПО «Воронежский

государственный технический университет», 2011

Введение

Теория вероятностей является разделом математики, в котором изучают математические модели случайных экспериментов,, исходы которых нельзя определить однозначно условиями проведения опыта. При этом предполагается, что сам эксперимент может быть повторен (хотя бы в принципе) любое число раз при неизменном комплексе условий, а исходы эксперимента обладают статистической устойчивостью.

Приведем простейшие примеры таких экспериментов.

1. Однократное подбрасывание монеты. Возможными исходами в этом опыте будут: падение монеты „гербом” вверх (или просто выпадение „герба”) или выпадение „цифры”. В результате проведения опыта возникает лишь один исход, однако установить до проведения опыта, какой именно, невозможно.

2. Бросание игральной кости. В данном случае возможны шесть исходов: выпадение 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков на верхней грани бросаемой кости.

3. Работа телефонной станции. Предположим, что нас интересует число вызовов, которое поступит за определенный промежуток времени на телефонную станцию. Как и в предыдущих примерах, интересующую нас величину до проведения эксперимента определить невозможно, хотя очевидно, что результатом будет целое неотрицательное число.

4. Измерение времени безотказной работы электрической лампочки. Время безотказной работы лампочки, которое в принципе может быть любым неотрицательным числом, для конкретного образца предсказать невозможно.

5. Стрельба по плоской мишени с большого расстояния.

Введем в плоскости мишени прямоугольную систему координат Оху, в которой начало координат (точка О) является точкой прицеливания. Возможные исходы можно описать координатами (х; у) точки падения снаряда. Случайные воздействия на траекторию движения снаряда приводят к тому, что установить координаты (х; у) можно только после выстрела.

Примеров такого рода можно привести сколь угодно много. Принято говорить, что исходы опытов (экспериментов), подобных перечисленным выше, являются случайными.

В чем же состоит общность опытов со случайными исходами? Оказывается, несмотря на то, что результат каждого из перечисленных выше экспериментов предсказать невозможно, на практике для них уже давно была замечена закономерность определенного вида, а именно: при проведении большого количества испытаний, наблюдаемые частоты появления каждого случайного события. Наблюдаемой частотой случайного события называют отношение числа его появлений к общему числу испытаний, стабилизируются, т.е. все меньше отличаются от некоторого числа, называемого вероятностью события. Так, при многократном бросании игральной кости „шестерка” выпадает в среднем в каждом шестом случае.

Такое свойство устойчивости частоты позволяет, не имея возможности предсказать исход отдельного опыта, достаточно точно прогнозировать свойства явлений, связанных с рассматриваемым опытом. Поэтому методы теории вероятностей в современной жизни проникли во все сферы деятельности человека, причем не, только в естественнонаучные, экономические, но и гуманитарные, такие, как история, лингвистика и т.д.

Практическое применение методов теории вероятностей заключается в пересчете вероятностей „простых” случайных событий в вероятности „сложных” событий. Например, вероятность выпадения „герба” при однократном подбрасывании обычной монеты равна 1/2. Спрашивается, как часто выпадают два „герба” при трех подбрасываниях монеты? Решение данной задачи дает формула Бернулли, которую мы получим в третьей главе.

Однако определение вероятности через частоту не является удовлетворительным для теории вероятностей как математической науки. Поэтому А.Н. Колмогоров предложил аксиоматическое определение вероятности. Именно оно и является общепринятым в настоящее время. В частности, на его основе изложен курс теории вероятностей в предлагаемой работе.

Характерной особенностью современной теории вероятностей является тот факт, что, несмотря на свою практическую направленность, в ней используют новейшие разделы почти всех разделов математики, а значит, для ее изучения на высоком уровне требуются математические знания, в объеме существенно превосходящем возможности технического вуза. В связи с этим даже при подготовке специалистов в области теории вероятностей принят многоуровневый подход, в соответствии с которым изложение ведется сначала на первом (простейшем) уровне, затем на втором (более сложном) и т.д. Настоящее пособие соответствует первому уровню изложения, скорректированному с учетом математической подготовки студентов технического университета. Впрочем, этого уровня вполне достаточно для того, чтобы научиться решать многие практические задачи.

Приведем краткую историческую справку о становлении теории вероятностей как раздела математики.

Исторически теория вероятностей возникла как теория азартных игр (рулетка, игральные кости, карты и т.д.) в конце XVII в. Начало ее развития связано с именами Б. Паскаля, Я. Бернулли, А. Муавра, П. Лапласа, а позднее (начало XIX в.) — К. Гаусса, С. Пуассона.

Первые исследования по теории вероятностей в России относятся к середине XIX в. и связаны с именами таких выдающихся математиков, как Н.И. Лобачевский (1792-1856), М.В. Остроградский (1801-1861), В.Я. Буняковский (1804-1889). В частности, В.Я. Буняковский издал в 1846 г. один из первых учебников по теории вероятностей (с приложениями в страховом деле, демографии и др.).

Дальнейшее развитие теории вероятностей (конец XIX в. и 20-е гг. XX в.) в основном связано с именами русских ученых П.Л. Чебышева (1821-1894) и его учеников A.M. Ляпунова (1857-1918) и А.А. Маркова (1856-1922). С 30-х гг. XX в. этот раздел математики переживает период расцвета, находя приложения в различных областях науки и техники. И в это время российские ученые С.Н. Бернштейн (1880-1968), А.Я. Хинчин (1894-1959), А.Н. Колмогоров (1903-1987) и многие другие вносят существенный вклад в развитие теории вероятностей. Именно А.Н. Колмогоров в 1933 г. предложил аксиоматическое построение теории вероятностей, установив ее связь с други­ми разделами математики (теорией множеств, теорией меры, функциональным анализом).

1. Случайные события

Любая современная математическая дисциплина основывается на некоторых исходных понятиях (аксиомах). В теории вероятностей такой аксиоматический подход был введен сравнительно недавно (в 30-х гг.) А.Н. Колмогоровым.

Аксиомы, лежащие в основе этого подхода, отражают и обобщают те свойства понятия вероятности случайных событий, которые использовались на интуитивном уровне с давних времен — с момента зарождения теории вероятностей как теории „азартных игр".

В этой и следующих главах будет показано, что основные понятия и аксиомы теории вероятностей представляют собой математические отражения понятий, хорошо известных любому человеку, наблюдавшему опыты со случайными исходами. Одним из таких понятий является пространство элементарных исходов, введение которого позволяет при решении конкретных практических задач оперировать общим для современной математики аппаратом теории множеств.

1.1. Пространство элементарных исходов

Определение 1.1. Элементарным исходом (или элементарным событием) называют любой простейший (т.е. неделимый в рамках данного опыта) исход опыта. Множество всех элементарных исходов будем называть пространством элементарных исходов.

Другими словами, множество исходов опыта образует пространство элементарных исходов, если выполнены следующие требования:

- в результате опыта один из исходов обязательно происходит;

- появление одного из исходов опыта исключает появление остальных;

- в рамках данного опыта нельзя разделить элементарный исход на более мелкие составляющие.

В дальнейшем пространство элементарных исходов будем обозначать прописной буквой , а сами элементарные исходы — строчной буквой , снабженной, при необходимости, индексами. То, что элемент принадлежит , записывают в виде , а тот факт, что множество состоит из элементов и только из них, записывают в виде

или в виде

В частности, может содержать конечное число элементарных исходов.

Рассмотрим примеры, поясняющие понятие пространства элементарных исходов.

Пример 1.1. Пусть опыт состоит в однократном подбрасывании монеты. При математическом описании этого опыта естественно отвлечься от несущественных возможностей (например, монета встанет на ребро) и ограничиться только двумя элементарными исходами: выпадением „герба” (можно обозначить этот исход Г, или ) и выпадением „ цифры”

(Ц, или ). Таким образом, или .

При двукратном подбрасывании монеты (или однократном подбрасывании двух монет) пространство элементарных исходов будет, очевидно, содержать 4 элемента, т.е.

,

где — появление „герба” и при первом, и при втором подбрасываниях, и т.д.

Пример 1.2. При однократном бросании игральной кости возможен любой из шести элементарных исходов где , i = , означает появление i очков на верхней грани кости, т.е. .

При двукратном бросании игральной кости каждый из шести возможных исходов при первом бросании может сочетаться с каждым из шести исходов при втором бросании, т.е.

,

где — исход опыта, при котором сначала выпало i, а затем j очков.

Нетрудно подсчитать, что пространство элементарных исходов содержит 36 элементарных исходов.

Пример 1.3. Пусть опыт заключается в определении числа вызовов, поступивших на телефонную станцию в течение заданного промежутка времени. Разумеется, реально это число не превышает некоторого значения (определяемого, в частности, пропускной способностью линий связи), но, поскольку это значение может быть достаточно большим, в качестве пространства элементарных исходов можно принять множество целых неотрицательных чисел, т.е.

.

Пример 1.4. Предположим, что стрелок производит единственный выстрел по плоской мишени. В этом случае естественно отождествить с множеством точек на плоскости или множеством пар (х;у) действительных чисел, где х — абсцисса, а у — ордината точки попадания пули в мишень в некоторой системе координат. Таким образом,

.