Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

8. Законы де Моргана:

, .

Замечание 1.2. Законы де Моргана верны для любого конечного числа событий:

.

Поскольку в рассматриваемом опыте может происходить одно из следующих событий:

,

то алгебра событий будет содержать все подмножества , включая (достоверное событие) и (невозможное событие).

Пример 1.9. Пусть опыт состоит в случайном бросании точки на числовую прямую R¹ = , которая в данном случае будет представлять собой пространство элементарных исходов . Ясно, что, зная результат опыта, всегда можно установить, попала или нет точка в любой из промежутков [а, b], [а, b), (а, b], (а, b). Поэтому относительно -алгебры событий B предполагают, что она содержит все эти промежутки.

В принципе могут существовать различные -алгебры, удовлетворяющие этому требованию. Но среди них есть одна -алгебра, элементы которой принадлежат всем остальным. Ее называют минимальной, или борелевской, -алгеброй на числовой прямой.

Аналогично определяют борелевскую -алгебру и в Rⁿ, п>1.

В заключение заметим, что с точки зрения повседневной практики подмножества пространства элементарных исходов, не являющиеся событиями, представляют собой чистую математическую абстракцию и в практических задачах никогда не встречаются. Даже само доказательство их существования представляет весьма сложную задачу. Поэтому мы предлагаем при первоначальном знакомстве с теорией вероятностей под событием понимать произвольное подмножество пространства элементарных исходов, а под -алгеброй событий — совокупность всех подмножеств множества .

1.4. Решение типовых примеров

Пример 1.10. Опыт состоит в однократном бросании игральной кости. Опишем пространство элементарных исходов и укажем состав подмножеств, соответствующих следующим событиям:

а) A — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, кратно трем;

б) В — на верхней грани игральной кости выпало нечетное число очков;

в) С — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, больше трех;

г) D — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, меньше семи;

д) Е — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, не является целым числом;

е) F — число очков, выпавших на верхней грани игральной кости, заключено в пределах от 0,5 до 1,5.

Установим пары совместных событий.

Пространство элементарных исходов в данном опыте имеет вид

где — выпадение на верхней грани игральной кости i очков.

а) Очевидно, что событие А происходит тогда и только тогда, когда выпадает либо 3, либо 6 очков, т.е.

Аналогично получаем следующие выражения для остальных описанных событий:

б)

в)

г) D =

д) Е= ;

е) F =

Сопоставляя попарно события и проверяя наличие общих элементов, находим пары совместных событий: А и В; А и С; А и D; В и С; В и D; В и F; С и D; D и F.

Пример 1.11. Игральную кость бросают один раз. События А, В, С, D, Е и F определены в примере 1.10. Опишем следующие события:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) .

а) Событием, противоположным событию В, является выпадение четного числа очков, т.е. .

Аналогичные рассуждения приводят нас к следующим результатам:

б) — выпало не более 3 очков;

в) — выпавшее число очков нечетно и кратно трем, т.е. равно трем;

г) — выпавшее число очков или нечетно, или кратно трем;

_Д) ;

е) ;

ж) .

Пример 1.12. Из множества супружеских пар наугад выбирают одну пару. Событие А — мужу больше 30 лет, событие В — муж старше жены, событие С — жене больше 30 лет. Выясним смысл событий:

а) ABC; б) А\АВ; в) .

Покажем, что .

а) ABC — оба супруга старше 30 лет, причем муж старше жены;

б) А\АВ — мужу больше 30 лет, но он не старше своей жены;

в) — оба супруга старше 30 лет, причем муж не старше своей жены.

— пересечение событий; мужу больше 30 лет, а жене не больше 30 лет. Следовательно, муж старше жены, т.е .

Пример 1.13. Пусть А, В — произвольные события. Докажем следующие равенства:

а) ;

б) .

Пользуясь свойствами операций' над событиями, имеем:

а) ;

б) .

Пример 1.14. Выясним, в каких случаях совместны (в совокупности) события , и ?

Так как , то события , и совместны тогда и только тогда, когда совместны события А и В.

Пример 1.15. Схема электрической цепи приведена на

рис. 1.4. Выход из строя элемента i — событие, . Запишем выражения для событий А и , если А означает разрыв цепи.

Разрыв цепи произойдет, если выйдет из строя элемент

1 или все три элемента 2, 3, 4, т.е. произойдут событие или событие . Поэтому

.

В соответствии с законами де Моргана находим

.

Рис. 1.4

Вопросы и задачи

1.1. Что понимают под пространством элементарных исходов?

1.2. Что называют случайным событием?

1.3. Какое событие называют достоверным? Какое событие называют невозможным?

1.4. Какие действия над событиями Вы знаете?

1.5. Какие два события называют несовместными? Какие события называют совместными?

1.6. Какие п событий (п > 2) называют несовместными попарно? в совокупности?

1.7. Какие события называют противоположными?

1.8. Перечислите свойства операций над событиями.

1.9. В каком случае говорят, что событие А включено в событие В?

1.10. Какими свойствами должна обладать некоторая система подмножеств пространства элементарных исходов для того, чтобы быть -алгеброй событий? алгеброй событий?

1.11. Что называют борелевской -алгеброй на числовой прямой?

1.12. Случайным образом выбирают одну из 28 костей домино. Опишите пространство элементарных исходов .

Перечислите все элементарные исходы, из которых состоят следующие события:

а) А — на выбранной кости очки совпадают;

б) В — сумма очков на выбранной кости равна 6;

в) С — произведение числа очков на кости нечетно;

г)В\А; д) АВ; е) АС; ж) АВ\С; з) .

Ответ: ;

а) А = {(0,0),(1,1),...,(6,6)};

б) В = {(0,6), (1,5), (2,4), (3,3)};

в) С = {(1,1), (1,3), (1,5), (3,3), (3,5), (5,5)};

г) В \А = {(0,6), (1,5) (2,4)}; д) АВ = {(3,3)};

е) АС = {(1,1), (3,3), (5,5)}; ж) АВ\С= ;

з) (A B)С = {(1,1),(1,5),(3,3),(5,5)}.

1.13. Производят обследование случайным образом выбранной семьи, имеющей четырех детей, с целью определения пола этих детей. Пол каждого ребенка отмечают в порядке стар­шинства. Определите: