Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Приведем свойства корреляционной функции пары случайных процессов.

1. Корреляционная и ковариационная функции связаны соотношением:

.

2. Если = , то равенство (11) примет вид:

.

3. Для стационарного случайного процесса корреляционная функция является функцией одной переменной = , при этом употребляют обозначение . Тогда , где - это математическое ожидание случайной величины , не зависящее от .

Среди всевозможных случайных процессов естественно выделить те, для которых -е конечномерные функции распределений имеют простой вид. Иногда все -е конечномерные функции определяются -ми функциями ( > ). Говорят, что случайный процесс имеет порядок , если все его конечномерные функции распределения выражаются через n - мерные функции, но не выражаются через (n - 1)-мерные функции распределения.

Рассмотрим, например, процесс, который определен семейством попарно независимых случайных величин. Он называется чисто случайным процессом. Первая конечномерная функция распределения совпадает с функцией распределения сечения ; вторая конечномерная функция распределения . Аналогичное утверждение справедливо и для n – ой дифференциальной функции распределения:

.

Таким образом, чисто случайный процесс является процессом первого порядка. Замети, что реализации (траектории) такого процесса не могут быть непрерывными функциями. Поэтому для всякого чисто случайного процесса, характеризующего какое-либо физическое явление, случайные величины должны быть дискретными.

Марковские случайные процессы

Марковские случайные процессы характеризуются следующими свойствами: их основные конечномерные функции распределения

(11.12)

т.е. условное распределение и не зависит от остальных условий при любых . Марковский процесс вполне определяется своей второй конечномерной функцией или первой конечной функцией распределения совместно с “вероятностями перехода” . Марковский случайный процесс является процессом 2-го порядка.

Процесс Пуассона

Важным частным случаем Марковского процесс является процесс Пуассона. Типичным примером процесса Пуассона служит процесс, описывающий работу телефонной станции; реализация (траектория) такого процесса есть функция, равная количеству вызовов, поступивших на станцию за время t. Общий же случай, так же как и приведенный пример, характеризуется тем, что сечения процесса представляют собой дискретные величины, а реализация процесса – неубывающая функция. Кроме условий, которые определяют Марковский процесс, для пуассоновского процесса предполагается выполнение дополнительных условий. А именно, вторая конечномерная функция распределения должна обладать свойствами:

(11.13)

Здесь - некоторая положительная постоянная (параметр распределения Пуассона), - бесконечно малая более высокого порядка малости, чем , т.е. . Вероятность можно вычислить в явном виде. А именно, оказывается, что функция зависит только от ( ) и ( ), т.е. имеет вид

.

При этом

, , (11.14)

Случайные процессы с независимыми приращениями

Пусть дано однопараметрическое семейство случайных величин такое, что для любого конечного множества вещественных чисел приращения попарно независимы. Это свойство определяет случайный процесс, который называется случайным процессом с независимыми приращениями. Примером такого процесса является описанный выше пуассоновский процесс.

Определение 6. Случайный процесс с независимыми приращениями называется процессом со стационарными приращениями, если распределение зависит только от s и не зависит от t.

Случайные процессы со стационарными независимыми приращениями обладают рядом интересных свойств и описывают важные в практическом отношении реальные случайные процессы. Главным свойством процесса с независимыми приращениями являются следующее: пусть числовой интервал (s, s+t) разбит на n равных частей точками . Рассмотрим случайные величины . Приращение случайного процесса является суммой n независимых случайных величин : . (11.15)

Если процесс стационарен, то все случайные величины распределены одинаково.

Случайная величина X (а так же ее интегральная и дифференциальная функции распределения) называются безгранично делимой, если для всякого существуют такие n независимых одинаково распределенных случайных величин , что . Из последней формулы следует, что приращение случайного процесса со стационарными приращениями является безгранично делимым распределением.

12. Понятие о нелинейной регрессии Основные понятия

В том случае, когда гипотеза линейной зависимости функции отклика у от фактора х не выполняется или когда при графическом изображении точек нелинейность явно просматривается «на глаз», нужно использовать нелинейную формулу парной зависимости. Следует только помнить, что речь идет о зависимости, нелинейной по фактору х. По параметрам зависимость должна оставаться линейной. Модель нелинейной парной регрессии имеет вид

, (12.1)

где - заданные функции, - неизвестные коэффициенты уравнения регрессии (параметры модели). Матрицу F с элементами , равными значению j-й функции в i-м опыте, называют регрессивной матрицей:

.

Оценки параметров модели вычисляются по формуле

, (12.2)

где - матрица-столбец опытных значений функции отклика, п – число опытов, - матрица-столбец оценок коэффициентов модели . В результате расчетов получим эмпирическое уравнение регрессии

(12.3)

Значимость коэффициентов регрессии проверяют по критерию Стьюдента:

, (12.4)

где - доверительная вероятность, - уровень значимости, погрешность коэффициента регрессии

, (12.5)

Остаточная дисперсия

, (12.6)

- элемент матрицы .