Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

10.3. Оценки точности измерений

Здесь предполагается, что измерения являются независимыми и равноточными (с одной и той же дисперсией), а их погрешности – случайными, причем распределены они по нормальному закону. В качестве показателя точности измерений оценивается дисперсия этого закона или средняя квадратическая погрешность .

Точечные оценки дисперсии.

1. Если измеряют известную величину а, то в качестве эффективной оценки дисперсии применяют квадрат среднего квадратического отклонения s* результатов измерений (10.1) от значения а:

. (10.14)

2. При измерениях неизвестной величины в качестве оценки дисперсии применяют эмпирическую дисперсию :

. (10.15)

где х – среднее арифметическое значений . Оценка (10.15) является несмещенной и состоятельной, но не является эффективной (она асимптотически эффективна, т.е. ее дисперсия стремится к наименьшему значению при неограниченном увеличении числа измерений n).

3. Если производится m серий измерений некоторой величины и известны количества измерений , а также средние арифметические результаты в каждой серии, то в качестве оценки дисперсии применяют эмпирическую дисперсию из средних:

, (10.16)

где

, . (10.17)

Эта оценка является несмещенной, состоятельной (и асимптотически эффективной при ).

Доверительные оценки средней квадратической погрешности.

При большом числе измерений доверительную оценку средней квадратической погрешности записывают в виде оценки относительного отклонения оцениваемого значения от эмпирического стандарта s (или s*, или ). Эта оценка имеет вид

, (10.18)

или

, (10.19)

Коэффициент находится с помощью соответствующих таблиц в зависимости от доверительной вероятности (надежности оценки) и числа степеней свободы в случае 1, в случае 2, в случае 3).

При малом числе измерений симметричная оценка (10.19) приводит к неоправданно большим доверительным интервалам; в этом случае применяют асимметричные доверительные оценки вида

(10.20)

где s - эмпирический стандарт; значения коэффициентов находятся по таблицам.

10.4. Метод наименьших квадратов

При обработке опытных данных часто встречаются с задачей об определении параметров функциональной зависимости между переменными величинами x и посредством формулы . Эта задача решается с помощью метода наименьших квадратов, сущность которого состоит в следующем. При измерении двух величин x и y получены следующие данные:

Известен также вид функциональной зависимости, т.е.

(10.21)

где - заданная функция; - параметры, значения которых требуется определить. Значения; полученные из формулы (10.21) при заданных значениях (i= 1, 2,...,n), как правило, не совпадают с экспериментальными значениями приведенными в указанной таблице, т.е. разность отлична от нуля для всех или некоторых точек (i= 1, 2,...,n). Для каждого i эту разность обозначим через и назовем погрешностью:

(i= 1, 2,...,n). (10.22)

Значения параметров а_k (к = 0, 1…,т) функции (10.21) требуется выбрать так, чтобы сумма квадратов погрешностей была наименьшей, т.е. так, чтобы функция

(10.23)

принимала наименьшее значение. Поскольку эта функция - сумма квадратов некоторых чисел, она принимает неотрицательные значения (каждое слагаемое суммы неотрицательно).

Функция (10.23) является функцией т+1 переменных , т.е (10.24)

Если функция имеет непрерывные частные производные по всем переменным, то необходимое условие ее минимума выражается системой уравнений

. (10.25)

Из этой системы т+1 уравнений находятся искомые значения параметров . Во многих случаях функция (10.21) определяется формулой

, (10.26)

где - известные функции, например, и т.д. Функция (10.24)

в таких случаях принимает вид

, (10.27)

а система (10.25) запишется так:

(10.28)

Решение этой системы может быть получено с помощью метода Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).

Если (k=0,1,2,…m), то

(10.29)

и система (10.28) принимает вид

_(10.30)

Частные случаи (m=1,m=2) последней задачи ( ) были рассмотрены ранее.

Пример 10.1

Получены следующие результаты измерений величин x и y:

Установить зависимость между этими величинами и определить параметры эмпирической формулы методом наименьших квадратов. Будем считать, что соответствующие пары значений (i=1,2,3,4,5) являются прямоугольными декартовыми координатами точек на плоскости. Построив точки А(1;2;1), В(1,5;2,2), С(2;2,7), D(2.5;2,8), Е(3;2,85), обнаружим, что они незначительно отклонится от некоторой прямой. Следовательно, можно предположить, что между величинами x и y существует приближенная линейная зависимость, т.е.y=ax+b, где a и b пока неизвестны. Методом наименьших квадратов определим параметры a и b эмпирической формулы y=ax+b. Чтобы решить систему (10.30), необходимо подсчитать входящие в нее коэффициенты. Для подсчета коэффициентов составим таблицу:

В последней строке таблицы получены коэффициенты системы уравнений (10.30). Решая эту систему, находим a=0,42, b=1,69. Следовательно, зависимость между величинами x и y выражается приближенной формулой y=0,42x+1,69.

Пример 10.2

Найти параметры a, b, c эмпирической формулы

y=ax²+bx+c по результатам измерений:

Результаты измерений и итоги их обработке представим в таблице: