Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

10. Математическая обработка результатов наблюдений

Методы теории вероятностей и математической статистики широко применяются при изучении различных явлений и обработке результатов эксперимента. Изучение явления, как правило, начинается с наблюдений. Под наблюдением имеют в виду регистрацию некоторых (случайных) событий, связанных с изучаемым явлением. Результаты наблюдений делятся на качественные и количественные. К качественным результатам относится появление некоторых событий (зажигание контрольной лампочки, выпадение осадка в растворе и т.п.). Количественные результаты получают при соответствующих подсчетах и измерениях.

10. 1. Измерения и их погрешности. Применение методов математической статистики к обработке результатов наблюдений

Под измерением понимают сравнение некоторой величины с другой (однородной) величиной, принятой за единицу. Различают прямые и косвенные измерения. При прямых измерениях исследуемая величина сравнивается с единицей измерения непосредственно или с помощью измерительного прибора (например, измерения длин линейкой, масс на весах и т.п.). При косвенных измерениях величины ее значения определяются по результатам прямых измерений других величин, связанных с рассматриваемой величиной заданной функциональной зависимостью (например, измерения плотности тела по изме­рениям его массы и объема).

В результате измерений получают приближенные значения величины, а не ее точное значение. При измерениях неизбежны погрешности. Погрешностью, или ошибкой, измерения называется разность х — а между результатом измерения х и точным значением а измеряемой величины. (Отметим, что погрешности измерений обычно неизвестны, так как неизвестно и точное значение измеряемой величины). Различают следующие виды погрешностей (ошибок) измерений: грубые, систематические, случайные. К грубым ошибкам (или промахам) относят ошибки, сделанные вследствие неверной записи показаний прибора, неправильно прочитанного отсчета и т.п. Систематические погрешности - погрешности, связанные с ограниченной точностью изготовления прибора, неправильной его установкой или некоторыми другими факторами. Они вызываются вполне определенными причинами, и их величина при всех измерениях остается постоянной (как в случае смещения нуля шкалы прибора) либо изменяется по определенному закону (как в случае неравномерной шкалы). Систематические ошибки можно устранить путем введения соответствующих поправок. Случайные погрешности вызываются большим числом случайных причин, действие которых на каждое измерение различно и заранее не может быть учтено. Случайные погрешности являются неустранимыми. Хотя их нельзя исключить, но с помощью методов теории вероятностей можно учесть влияние случайных погрешностей на оценку точного значения измеряемой величины. В теоретико-вероятностной модели случайные погрешности z = х — а (и сами результаты измерений x=a+z) рассматривают как случайную величину с некоторым законом распределения ее вероятностей. В качестве закона распределения случайных погрешностей измерения чаще всего принимается нормальный закон распределения.

Замечание.

Нормальное распределение случайных погрешностей обычно достаточно хорошо согласуется с опытом. В частности, это распределение отражает следующие два свойства случайных погрешностей: 1) симметрии (равные по модулю и противоположные по знаку погрешности встречаются почти одинаково часто) и 2) концентрации (малые по модулю случайные погрешности встречаются чаще, чем большие).

При каждом измерении фиксируется один количественный результат. Результаты любой серии из п измерений будут случайным образом колебаться вокруг точного значения измеряемой величины. Следовательно, с этим точным значением связана некоторая случайная величина X. В итоге п независимых измерений получается п ее возможных значений . Если все возможные значения случайной величины X считать генеральной совокупностью, то полученные при п измерениях значения образуют выборку. По этой выборке и необходимо определить распределение случайной величины X(распределение генеральной совокупности). Таким образом, проведение измерений является частным случаем выборочного метода, когда в качестве генеральной совокупности рассматриваются все возможные значения указанной случайной величиной Х и исследуется распределение этой величины по выборке (результатами измерений) на основе теории, изложенной в предыдущих главах.

10. 2. Оценка точного значения измеряемой величины

Пусть в итоге п независимых измерений некоторой величины X получены следующие результаты:

(10.1)

Будем предполагать, что эти результаты свободны от грубых и систематических ошибок (неверные результаты отброшены, на систематические ошибки введены поправки). Оценить точное значение а измеряемой величины - это значит:

а) определить функцию которая обеспечивает достаточно близкое приближение к значению а;

б) указать границы интервала , который с заданной вероятностью покрывает истинное значение а (эта оценка называется доверительной оценкой, вероятность -доверительной вероятностью, или надежностью оценки, интервал -доверительным интервалом, а его границы - доверительными границами). Оценка должна (по возможности) обладать следующими свойствами: несмещенности, состоятельности и эффективности (см. п. 9.4).

Введем среднее арифметическое значение (среднее значение) х результатов (10.1), среднее квадратическое отклонение s* этих результатов от их среднего значения х и эмпирический стандарт s соответственно по формулам

, (10.2)

; (10.3)

. (10.4)

Если все измерения произведены с одинаковой точностью, то в качестве оценки точного значения а измеряемой величины принимают среднее арифметическое значение результатов (10.1):

, . (10.5)

Как было показано (см. п. 9.5), эта оценка является несмещенной и состоятельной. Введенная оценка оказывается и эффективной при дополнительном предположении о том, что случайные ошибки измерений подчинены нормальному закону распределения. Такое предположение имеется в виду и в дальнейшем. Отметим, что оценка (10.5) относится к числу точечных оценок.

Переходим к доверительным оценкам. Будем рассматривать симметрические доверительные оценки, т.е. оценки вида

(10.6)

или

, (10.7)

где х - среднее значение (см. (10.2)). Величина (точность оценки) определяется по заданной доверительной вероятности (надежности оценки); обычно задается в виде одного из трех значений: = 0,95, = 0,99, = 0,999.

Доверительная оценка при известной точности

измерений.

Если известно среднее квадратическое отклонение , то доверительная оценка (10.6) имеет вид

, (10.8)

где п - число измерений, а значение t = t( ) определяется по заданной доверительной вероятности из условия 2Ф(t) = и находится с помощью таблиц. Точность оценки в этом случае выражается формулой

. (10.9)

Доверительная оценка при неизвестной точности измерений.

Если средняя квадратическая погрешность заранее неизвестна, то вместо нее применяют эмпирический стандарт s (см. п. 9.6), который служит оценкой параметра . Доверительная оценка (10.6) принимает вид

, (10.10)

или

, (10.11)

где s* и s определяются соответственно формулами (10.3) и (10.4), а множитель зависит не только от доверительной вероятности , но и от числа измерений п (k = п — 1). Значения этого множителя находят по таблицам.

Замечание.

Соответствующие таблицы составлены с помощью распределения

Стьюдента, т.е. распределения вероятностей отношения ; значения

определены из условия

.

Распределение Стьюдента зависит от одного параметра k, называемого числом степеней свободы; в данном случае этот параметр связан с числом измерений формулой k=п-1

Правило трех сигм.

Поскольку надежность доверительной оценки выбирается заранее, в практике математической обработки экспериментальных данных широко применяется правило трех сигм: отклонение истинного значения измеряемой величины от среднего арифметического результатов измерений не превосходит утроенной средней квадратической погрешности этого среднего значения.

Следовательно, правило трех сигм представляет собой доверительную оценку

(10.12)

при известной величине или доверительную оценку

(10.13)

при неизвестной величине (s – эмпирический стандарт). Оценка (10.12) имеет надежность 2Ф(3)=0,9973 независимо от числа измерений. Оценка (10.13) зависит от n-числа измерений (зависимость эта указывается с помощью соответствующих таблиц).