Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

1.2. События, действия над ними

Введем понятие случайного события. Поскольку в дальнейшем будем рассматривать только случайные события, то, начиная с этого момента, будем называть их, как правило, просто событиями.

Определение 1.2. Любой набор элементарных исходов, или, иными словами, произвольное подмножество пространства элементарных исходов, называют событием.

Элементарные исходы, которые являются элементами рассматриваемого подмножества (события), называют элементарными исходами, благоприятствующими данному событию, или образующими это событие.

События будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами, например: А, В, С и т.д.

Сразу же оговоримся, что определение 1.2 события будет уточнено в следующем параграфе в том случае, когда не является счетным множеством. Здесь же мы вводим определение 1.2 по двум причинам.

Во-первых, основная цель настоящего параграфа — наглядно показать, как физическое понятие случайного события формализуется в математических понятиях теории множеств, и описать операции над событиями.

Во-вторых, определение 1.2 вполне удовлетворительно можно применять для решения практических задач, в то время как строгое определение события служит лишь для построения теории вероятностей как раздела современной математики, оперирующей логически безупречными, но сложными для неподготовленного читателя понятиями.

Часто используется следующая терминология: говорят, что событие А произошло (или наступило), если в результате опыта появился какой-либо из элементарных исходов А.

Замечание 1.1. Во многих учебниках по теории вероятностей (и в данном пособии тоже) для удобства изложения материала, особенно при решении задач, термин „событие” как подмножество пространства элементарных событий отождествляется с термином „событие, произошло в результате опыта”, или „событие заключается в появлении таких-то элементарных исходов”.

Так, в примере 1.2, где , событием А является подмножество . Но мы будем также говорить, что событие А — это появление любого из элементарных исходов , i =1,3,5.

Пример 1.5. В примере 1.2 было показано, что при однократном бросании игральной кости

,

где — элементарный исход, заключающийся в выпадении i очков. Рассмотрим следующие события: А — выпадение четного числа очков; В — выпадение нечетного числа очков; С — выпадение числа очков, кратного трем. Очевидно, что

А= , В= и С= .

Определение 1.3. Событие, состоящее из всех элементарных исходов, т.е. событие, которое обязательно происходит в данном опыте, называют достоверным событием.

Достоверное событие, как и пространство элементарных исходов, обозначают буквой .

Определение 1.4. Событие, не содержащее ни одного элементарного исхода, т.е. событие, которое никогда не происходит в данном опыте, называют невозможным событием.

Невозможное событие будем обозначать символом .

Пример 1.6. При бросании игральной кости достоверное событие можно описать, например, как выпадение хотя бы одного очка, а невозможное — как выпадение 7 очков.

Часто бывает полезно наглядно представить события в виде диаграммы Эйлера-Венна. Изобразим все пространство элементарных исходов прямоугольником (рис. 1.1). При этом каждый элементарный исход соответствует точке внутри прямоугольника, а каждое событие А — некоторому подмножеству точек этого прямоугольника. Трактовкой диаграммы Эйлера — Венна может служить опыт с бросанием

Рис. 1.1

случайным образом частицы в прямоугольник. Тогда элементарный исход — это попадание частицы в точку прямоугольника, а событие А— в часть прямоугольника, задаваемую подмножеством А.

Рассмотрим теперь операции (действия) над событиями, которые, по существу, совпадают с операциями над подмножествами. Эти операции будем иллюстрировать на диаграммах Эйлера-Венна. На рис. 1.2 заштрихованы области, которые соответствуют событиям, являющимся результатами таких операций.

Определение 1.5. Пересечением (произведением) двух событий А и В называют событие С, происходящее, тогда и только тогда, когда одновременно происходят оба события А и В, те. событие, состоящее из тех и только тех элементарных исходов, которые принадлежат и событию А, и событию В — рис. 1.2,

а).Пересечение событий А и В записывают следующим образом: , или С = АВ.

Определение 1.6. События А и В называют несовместными, или непересекающимися, если их пересечение является невозможным событием, т.е. если (рис. 1.2,б). В противном случае события называют совместными, или пересекающимися.

Определение 1.7. Объединением (суммой) двух событий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из событий А или В, т.е. событие С, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат хотя бы одному из подмножеств А или В (рис. 1.2, в).

Объединение событий А и В записывают в виде

.

Рис. 1.2

Если события А и В несовместны, наряду со знаком „ ” для их объединения употребляют знак „+”. Обычно знак „+” применяют в том случае, если заведомо известно, что А и В несовместны, и это особо хотят подчеркнуть. Например, поскольку невозможное событие несовместно с любым событием А, то

.

Аналогично определяют понятия произведения и суммы событий для любого конечного числа событий и даже для бесконечных последовательностей событий. Так, событие

состоит из элементарных исходов, принадлежащих всем событиям А_п, , а событие

состоит из элементарных исходов, принадлежащих хотя бы одному из событий A_n, . В частности, события называют попарно несовместными (непересекающимися), если

для любых i,j= , , и несовместными (непересекающимися) в совокупности, если

.

Определение 1.8. Разностью двух событий А и В называют событие С, происходящее тогда и только тогда, когда происходит событие А, но не происходит событие В, т.е. событие С, состоящее из тех элементарных исходов, которые принадлежат А, но не принадлежат В (рис. 1.2, г).

Разность событий А и В записывают в виде:

С=А\В.

Определение 1.9. Дополнением события А (обычно обозначают ) называют событие, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А (рис. 1.2, д). Другими словами,

= \A.

Событие называют также событием, противоположным событию А.

Если некоторое событие записано в виде нескольких действий над различными событиями, то сначала переходят к дополнениям, а затем умножают и, наконец, складывают и вычитают (слева направо) события. Так, формула

C=A_{1 2}B₁ A_{3 2}\B₃

эквивалентна формуле

С={[А₁( ₂)В₁] [А₃( ₂)]}\В₃.

Следует отметить, что все действия над событиями можно получить с помощью только двух действий — объединения и дополнения (или пересечения и дополнения). Основанием для этого утверждения служат законы де Моргана, а также соотношение

А\В = А .

Кроме перечисленных выше действий над событиями нам в дальнейшем понадобится понятие включения.

Определение 1.10. Событие А включено в событие В, что записывают А В, если появление события А обязательно влечет за собой наступление события В (рис. 1.2, е), или каждый элементарный исход , принадлежащий А, принадлежит и событию В.

Ясно, что включение А В эквивалентно равенству АВ = А.

Используют и обратное понятие: событие В включает со­бытие А (В А), если А В.

Пример 1.7. Рассмотрим техническое устройство (ТУ), состоящее из т элементов. В теории надежности принято говорить, что элементы соединены последовательно, если ТУ прекращает функционировать при отказе любого элемента, и соединены параллельно, если прекращение функционирования ТУ наступает только при отказе всех т элементов. Условное изображение последовательного и параллельного соединений представлено на рис 1.3, а и б соответственно.

Обозначим А событие, означающее отказ ТУ, а — событие, означающее отказ i-го элемента ( ). Тогда события А и связаны соотношениями:

для рис 1.3, а ,

для рис. 1.3, б .

Рис. 1.3

Очевидно, что при параллельном соединении элементов событие А включено в каждое событие , , а при последо­вательном соединении, наоборот, любое событие , , включено в событие А.

Приведем основные свойства операций над событиями, справедливость которых нетрудно проверить, пользуясь диаграммами Эйлера — Венна (проделайте это самостоятельно).

1. Коммутативность суммы и произведения:

A В = B А, АВ = ВА.

2. Ассоциативность суммы и произведения:

A B C= А (В С), (АВ)С = А(ВС).

3. Дистрибутивность относительно сложения:

(A В)С = AC ВС.

4. Дистрибутивность относительно умножения (новое свой­ство, не выполняющееся для чисел):

AB C = (A C)(B C).

5. Включение А в В, т.е. А В, влечет за собой включение в , т.е. .

6. Совпадение двойного дополнения с исходным событием:

.

7. Совпадение суммы и произведения одинаковых событий с самим событием

A A = AA = A.

1.3. Сигма-алгебра событий

Необходимость введения настоящего параграфа обусловлена тем, что современная теория вероятностей основывается на понятии вероятностного пространства, одним из трех компонентов которого является сигма-алгебра событий.

В предыдущем параграфе мы назвали событием любое подмножество пространства элементарных исходов . Такое определение допустимо, если является конечным или счетным множеством. Оказывается, однако, что в случае несчетного множества элементарных исходов уже нельзя построить логически непротиворечивую теорию, называя событием произвольное подмножество множества . Поэтому событиями в этом случае называют не любые подмножества элементарных исходов, а только подмножества из , принадлежащие некоторому классу B. Этот класс в теории множеств принято называть сигма-алгеброй событий (пишут -алгебра).

С точки зрения здравого смысла событие — это то, что мы наблюдаем после проведения опыта. В частности, если можно после опыта установить, произошли или нет события А и В, то можно также сказать, произошли или нет события и , объединение, пересечение и разность событий А и В. Таким образом, - алгебра событий обязана быть классом подмножеств, замкнутым относительно приведенных операций над подмножествами, т.е. указанные операции над элементами (подмножествами) данного класса приводят к элементам (подмножествам) того же класса.

Дадим теперь строгое определение -алгебры событий.

Определение 1.11. Сигма-алгеброй ( -алгеброй)B называют непустую систему подмножеств некоторого множества J удовлетворяющую следующим двум условиям.

1. Если подмножество А принадлежит B, то дополнение принадлежит B.

2. Если подмножества, А₂,…,А_п,... принадлежат, то их объединение А₂ ... А_п ... и их пересечение А₂ ... А_п ... принадлежит B.

Поскольку J = A и = , то множество J и пустое множество принадлежат B.

Рассмотрим пространство элементарных исходов . Элементы некоторой -алгебры B, заданной на , будем называть событиями. В этом случае -алгебру B принято называть сигма-алгеброй ( -алгеброй) событий.

Любая -алгебра событий содержит достоверное событие и невозможное событие .

В случае конечного или счетного пространства элементарных исходов в качестве -алгебры событий обычно рассматривают множество всех подмножеств .

Замечание 1.3. Если в условии 2 счетное множество событий заменить на конечное, то получим определение алгебры событий. Любая -алгебра событий обязательно является алгеброй событий. Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.

Пример 1.8. Пусть опыт состоит в подбрасывании один раз тетраэдра, каждая грань которого помечена одним из чисел 1, 2, 3 и 4.

Очевидно, что пространство элементарных исходов в этом опыте имеет вид

,

где — падение тетраэдра на грань с числом i, .