Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

а) из какого числа элементарных исходов состоит пространство элементарных исходов;

б) сколько элементарных исходов соответствуют семьям, в которых первый ребенок — девочка;

в) сколько элементарных исходов соответствуют семьям, в которых есть дети обоего пола.

Ответ: а) 16; б) 8; в) 14.

1.14. По мишени производят три выстрела. Пусть событие , i = 1,2,3, — попадание при i-м выстреле. Представьте в виде объединения и пересечения событий или следующие события:

а) А — три попадания в мишень;

б) В — три промаха;

в) С — хотя бы одно попадание;

г) D — хотя бы один промах;

д) Е — не менее двух попаданий;

е) F — не больше одного попадания;

ж) G — попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле.

Ответ:

а) А = ; б) В = ; в) С = ;

г) D = ;

д) E= ;

е) F = ;

ж) G= .

1.15. Монету подбрасывают три раза. Опишите пространство элементарных исходов и определите подмножества, соответствующие следующим событиям:

а) А — „герб” выпал ровно один раз;

б) В — ни разу не выпала „цифра”;

в) С — выпало больше „гербов", чем „цифр”;

г) D —„герб” выпал не менее двух раз подряд.

Ответ:

={(Г,Г,Г),(Ц,Г,Г),(Г,Ц,Г), (Г,Г,Ц),(Г,Ц,Ц),(Ц,Г,Ц),(Ц,Ц,Г),(Ц,Ц,Ц)};

а) А = {(Г,Ц,Ц),(Ц,Г,Ц),(Ц,Ц,Г)};

б)В = {(Г,Г,Г)};

в) С = {(Г,Г,Г),(Ц,Г,Г),(Г,Ц,Г),(Г,Г,Ц)};

г)D = {(Г,Г,Г),(Ц,Г,Г),(Г,Г,Ц)}.

1.16. Пусть А, В, С — случайные события. Выясните смысл неравенств:

а) АВС = А; б) A B C = А.

Ответ:

а) А BС, т.е. событие ВС происходит всегда, когда происходит событие А;

б) В А, С А, т.е. всякий раз, когда происходит В или С, происходит также и А.

1.17. Пусть А В. Упростите выражения:

а) АВ; б) A B; в) ABC; г)A B C.

Ответ:

а) АВ = А; б) A B = В; в) ABC = АС; г)A B C = B C.

1.18. Используя свойства операций над событиями, докажи­те следующие равенства:

a) ; б) .

1.19. Два игрока играют в шахматы. Событие А — выиграл первый игрок, событие В — выиграл второй игрок. Что означают события:

а) ; б) \А; в) \В?

Ответ: Во всех случаях ничья.

1.20. Схема электрической цепи приведена на рис. 1.5. Через участок схемы, вышедший из строя, ток не проходит. Пусть событие — выход из строя элемента i, i = ,. Выразите события А и через события , если А — выход из строя всей схемы.

Ответ: , .

1.21. На рис. 1.6 представлена структурная схема надежности некоторой системы. Пусть события А и означают отказ системы и i -гo элемента соответственно, i = . Выразите события А и через события и , i = .

Ответ: , .

Рис. 1.5 Рис. 1.6

2. Вероятность

Говоря о событиях, мы с различной степенью уверенности относимся к возможности их наступления. Так, с большей уверенностью можно утверждать, что при однократном подбрасывании монеты выпадет „герб", чем при однократном бросании игральной кости — 6 очков. Говорят, что первое событие более вероятно, чем второе.

Что же такое вероятность события? Напрашивается каждому событию А поставить в соответствие число Р(А), которое будет являться мерой возможности его появления. Если принять P( ) = 1, а Р( ) = 0 (хотя можно было взять другую единицу измерения), то тогда для любого события А естественно ожидать, что .

Определение вероятности как меры возможности появления события в современной математике вводится на основании аксиом. Но, прежде чем перейти к аксиоматическому определению, остановимся на нескольких других определениях, которые исторически возникли раньше. Они, с одной стороны, позволяют лучше понять смысл аксиоматического определения, а с другой — во многих случаях являются рабочим инструментом для решения практических задач. Приведем их, следуя хроно­логическому порядку появления.

2.1. Классическое определение вероятности

В классическом определении вероятности исходят из того, что пространство элементарных исходов содержит конечное число элементарных исходов, причем все они равновозможны. Понятие равновозможности поясним следующим образом.

Элементарные исходы в некотором опыте называют равновозможными, если в силу условий проведения опыта можно считать, что ни один из них не является объективно более возможным, чем другие. Опыт, удовлетворяющий условию равновозможности элементарных исходов, часто называют также „ классической схемой".

Пусть N — общее число равновозможных элементарных исходов в , a — число элементарных исходов, образующих событие А (или, как говорят, благоприятствующих событию А.

Определение 2.1. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к общему числу N равновозможных элементарных исходов, т.е.

.

Данное определение вероятности события принято называть классическим определением вероятности.

Заметим, что наряду с названием „классическая схема" используют также названия „случайный выбор", „равновероятный выбор" и т.д.

Пример 2.1. Из урны, содержащей k = 10 белых и l = 20 черных шаров (шары отличаются лишь цветом), наугад вынимают один шар. Требуется найти вероятность Р(А) события А, заключающегося в том, что из урны извлечен белый шар.

Для решения поставленной задачи заметим, что число элементарных исходов в данном опыте совпадает с общим числом шаров в урне

N = k+l = 30,

причем все исходы равновозможны, а число благоприятствующих событию А исходов

= k = 10.

Поэтому в соответствии с определением классической вероятности ,

_.

Используя классическое определение вероятности события, докажем следующие свойства.

Свойство 2.1. Для любого события А вероятность удовлетворяет неравенству

.

Свойство очевидно, так как отношение /N не может быть отрицательным.

Свойство 2.2. Для достоверного события (которое содержит все N элементарных исходов)

P( ) = 1.

Свойство 2.3. Если события А и В несовместны (АВ = ), то

Р(А + В) = Р(А)+Р(В).

Действительно, если событию А благоприятствуют исходов, а событию В — N₂ исходов, то в силу несовместности А и В событию А + В благоприятствуют + N₂ исходов. Следовательно,

.

Оказывается, что эти три свойства являются основными. Из них как следствия можно получить другие полезные свойства (подробнее они будут рассмотрены ниже), например:

; ;

, если .

Недостаток классического определения заключается в том, что оно применимо только к пространствам элементарных исходов, состоящим из конечного числа равновозможных исходов. Этим определением нельзя воспользоваться даже в тех случаях, когда пространство элементарных исходов конечно, но среди исходов есть более предпочтительные или менее предпочтительные.

2.2. Вычисление вероятностей с помощью формул комбинаторики

При решении задач, заключающихся в определении вероятности, наибольшую трудность представляет подсчет общего числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию. В этом случае полезно обратиться к формулам комбинаторики.

Теорема 2.1. Пусть даны т групп элементов, причем i-я группа состоит из элементов. Общее число N способов, с помощью которых можно осуществить указанный выбор, определяется равенством .

Это выражение называют основной формулой комбинаторики.

Воспользуемся методом математической индукции по числу групп m.

Очевидно, что основная формула комбинаторики справедлива для т = 1. Предполагая ее справедливость для т 1, покажем, что она выполняется также для т+ 1. Действительно, поскольку первые т элементов можно выбрать способами, а (т + 1)-й элемент можно выбрать способами, то все т+ 1 элементов можно выбрать ( ) = способами.

Пример 2.2. В трех ящиках находятся радиодетали тpex типов с различными значениями параметров. В первом ящике находится = 20 резисторов, во втором — п₂ = 15 конденсаторов и в третьем — = 10 транзисторов.

Найдем вероятность Р(А) того, что схема, собранная из выбранных наугад трех элементов разного типа, будет содержать элементы с минимальными значениями параметров. Согласно определению 2.1 классической вероятности,

,

где N — общее число элементарных исходов; — число исходов, благоприятствующих событию А. Очевидно, что

=1,

а в силу основной формулы комбинаторики

.

Поэтому искомая вероятность

.

Предположим теперь, что имеется группа из п различных элементов и из этой группы нужно выбрать m элементов.

Определение 2.2. Результат выбора m элементов из группы, содержащей п элементов, будем называть выборкой из п элементов по m. Если при этом элемент после выбора снова возвращается в группу, то выборку называют выборкой с возвращением. Если же выбранный элемент не участвует в дальнейшем выборе, то выборку называют выборкой без возвращения. Заметим, что в любом случае результат выбора элементов из группы, содержащей п элементов, будем называть выборкой.