Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

,

что и доказывает теорему.

Пример 2.8. Из колоды в 36 карт наудачу извлекают 10 карт. Найдем вероятность Р(А) того, что среди выбранных карт окажутся четыре карты пиковой масти, три — трефовой, две — бубновой и одна — червовой. Для этого воспользуемся гипергеометрической схемой, в которой п = 36, = 9, = 4, = 3 = 2, m₄ = 1. Следовательно,

.

Во многих случаях вычисление вероятности по схеме классической вероятности удобно проводить с помощью условной вероятности, которую мы введем в следующей главе.

2.3. Геометрическое определение вероятности

Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов тогда, когда представляет собой подмножество пространства R (числовой прямой), R² (плоскости), Rⁿ (n-мерного евклидова пространства).

В пространстве R в качестве подмножеств будем рассматривать лишь промежутки или их объединения, т.е. подмножества, которые имеют длину. В пространстве R² — те подмножества, которые имеют площадь, и т.д.

Под мерой (А) подмножества А будем понимать его длину, площадь или объем (обобщенный объем) в зависимости от того, какому пространству принадлежит : в R, в R² или в R³ (Rⁿ). Будем также считать, что пространство элементарных исходов имеет конечную меру, а вероятность попадания „случайно брошенной" точки в любое подмножество пропорциональна мере этого подмножества и не зависит от его расположения и формы. В этом случае говорят, что рассматривается „геометрическая схема" или „точку наудачу бросают в область ".

Определение 2.5. Вероятностью события А называют число Р(А), равное отношению меры множества А к мере множества :

,

где — мера множества А.

Данное определение вероятности события принято называть геометрическим определением вероятности.

Заметим, что в литературе вероятность события А, определенную выше, на основе геометрической схемы, часто называют геометрической вероятностью.

Геометрическая вероятность, очевидно, сохраняет отмеченные ранее свойства вероятности Р(А) в условиях классической схемы.

Замечание 2.5. Приведенное определение геометрической вероятности с математической точки зрения не является корректным, поскольку в n-мерном пространстве существуют подмножества, не имеющие меры. Поэтому для строгости необходимо в качестве событий А рассматривать только элементы борелевской -алгебры B (см. 1.3), что, впрочем, более чем достаточно для практических потребностей.

Пример 2.9. Студент и студентка договорились встретиться в определенном месте между двенадцатью часами и часом дня. Необходимо найти вероятность встречи, если приход каждого из них в течение указанного часа происходит наудачу, причем известно, что студент ждет студентку ровно 20 минут, а студентка студента — 5 минут.

Для решения задачи воспользуемся геометрической схемой вероятности. Обозначим момент прихода студента через х, а студентки через у. Тогда любой элементарный исход в данной задаче можно отождествить с некоторой точкой (х; у) на плоскости хОу. Выберем за начало отсчета 12 часов, а за единицу измерения 1 минуту и построим на плоскости хОу пространство элементарных исходов . Очевидно, что это будет квадрат со стороной 60 (рис. 2.1). Событие А (студент и студентка встретятся) произойдет тогда, когда разность у - х не превысит = 20, а разность х - у не превысит = 5, т.е. условие встречи определяет систему неравенств.

Рис. 2.1

Область А элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, на рис. 2.1 заштрихована. Ее площадь S_A равна площади квадрата без двух угловых треугольников, т.е.

Тогда, согласно определению 2.5, находим

.

2.4. Статистическое определение вероятности

В основе статистического определения вероятности лежит общий принцип, в соответствии с которым методы теории вероятностей применимы только к таким испытаниям, которые могут быть, по крайней мере теоретически, повторены бесконечное число раз, и при этом имеет место свойство устойчивости частот появления связанных с этими испытаниями событий (см. Введение).

Пусть произведено п повторений опыта, причем в из них появилось событие А. Обозначим наблюденную частоту события А. Практика показывает, что в тех экспериментах, для которых применимы методы теории вероятностей, частота события А с увеличением числа опытов п стабилизируется, т.е. стремится к некоторому пределу (допуская некоторую вольность речи).

Определение 2.6. Вероятностью события А называют (эмпирический) предел Р(А), к которому стремится частота события А при неограниченном увеличении числа п опытов.

Данное определение вероятности события принято называть статистическим определением вероятности.

Можно показать, что при статистическом определении вероятности события сохраняются свойства вероятности события, справедливые в условиях классической схемы, т.е.

1)

2)

3) , если АВ = .

С практической точки зрения статистическое определение вероятности является наиболее разумным. Однако с позиции теории вероятностей как раздела современной математики недостаток статистического определения очевиден: нельзя провести бесконечное число повторений опыта, а при конечном числе повторений наблюденная частота, естественно, будет разной при различном числе повторений.

Заметим, что связь между классическим и статистическим определениями была выявлена еще в период становления теории вероятностей как теории азартных игр. Было установлено, что при корректном использовании классического определения вероятность событий практически совпадает с их частотами при большом числе повторений эксперимента.И хотя игроков интересовала частота определенных событий, решение задач, полученное на основе классического определения вероятности, их вполне устраивало. Иными словами, даже игроки азартных игр знали о совпадении статистического определения с другими (классическим и его обобщением — геометрическим).Собственно говоря, задача определения связи вероятности с частотой не потеряла актуальности и в наши дни, когда в теории вероятностей повсеместно используется аксиоматическое определение вероятностей Колмогорова.

Это привело к появлению и широкому внедрению в практику обширного раздела теории вероятностей — математической статистики.

2.5. Аксиоматическое определение вероятности

Для того чтобы понять смысл аксиоматического определения вероятности, рассмотрим классическую схему. В этом случае вероятность любого элементарного исхода .

Вероятность любого события А при этом равна , где — число исходов, благоприятствующих событию А.

Вероятность можно записать также в следующем виде

,

где суммирование ведется по всем значениям индекса i, при которых элементарные исходы образуют событие А.

Однако задать вероятность события по такому принципу уже в случае геометрической схемы нельзя, так как при этом вероятность любого элементарного события равна нулю.

Поэтому следует дать определение вероятности события для любого пространства элементарных исходов , не связанное с вероятностями элементарных исходов, а учитывающее те свойства вероятности событий, которые имеют место для всех предыдущих определений вероятности события (классического, геометрического, статистического).

Напомним, что этими свойствами являются следующие:

1) 2)

3) , если события ,…, попарно несовместны.

Именно эти три свойства лежат в основе аксиоматического определения вероятности. При этом свойство 3 постулируется для суммы счетного множества попарно несовместных событий.

Определение 2.7. Пусть каждому событию А (т.е. подмножеству А пространства элементарных исходов , принадлежащему -алгебры B) поставлено в соответствие число Р(А). Числовую функцию Р (заданную на -алгебры B) называют вероятностью (или вероятностной мерой), если она удовлетворяет следующим аксиомам:

Аксиома 1 (аксиома неотрицательности):

Аксиома 2 (аксиома нормированности):

Аксиома 3 (расширенная аксиома сложения): для любых попарно несовместных событий ,..., ,... справедливо равенство

Значение Р(А) называют вероятностью события А.

Замечание 2.6. Если пространство элементарных исходов является конечным или счетным множеством, то каждому элементарному исходу , I = 1,2,..., можно поставить в соответствие число так, что