Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Тогда для любого события в силу аксиомы 3 вероятность Р(А) равна сумме вероятностей всех тех элементарных исходов, которые входят в событие A, т.е.

Таким образом, мы определили вероятность любого события, используя вероятности элементарных исходов. Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать совершенно произвольно, лишь бы они были неотрицательными и в сумме составляли единицу. Именно в этом и состоит идея аксиоматического определения вероятности.

В следующей теореме докажем утверждения, описывающие ряд полезных свойств вероятности.

Теорема 2.8. Вероятность удовлетворяет следующим свойствам.

1. Вероятность противоположного события

.

2. Вероятность невозможного события

Р( ) = 0.

3. Если , то

(„большему” события соответствует большая вероятность).

4. Вероятность заключена между 0 и 1:

5. Вероятность объединения двух событий

6. Вероятность объединения любого конечного числа событий

Поскольку

то, согласно расширенной аксиоме сложения,

откуда с учетом аксиомы нормированности получаем утверждение 1.

Утверждение 2 вытекает из равенства

А = А +

и расширенной аксиомы сложения.

Пусть . Тогда

В = А + (В\А).

В соответствии с расширенной аксиомой сложения

Р(В) = Р(А) + Р(В\А).

Отсюда и из аксиомы неотрицательности приходим к утверждению 3.

В частности, так как всегда , то с учетом аксиомы неотрицательности получаем утверждение 4.

Поскольку

то, используя расширенную аксиому сложения, находим

и

Подставляя в первое из последних двух равенств вероятность Р(В\А), выраженную из второго равенства, приходим к утверждению 5.

Утверждение 6 можно доказать с помощью метода математической индукции по n. Так, для трех событий А, В и С

Для четырех и более событий это утверждение проверьте самостоятельно.

Замечание 2.7. Утверждения 5 и 6 называют теоремами сложения вероятностей для двух и для п событий соответственно.

Приведем пример, показывающий, что без учета того, что события совместные, можно прийти к неправильному результату.

Пример 2.10. Опыт состоит в двукратном подбрасывании симметричной монеты. Найдем вероятность события А, означающего появление „герба” хотя бы один раз. Обозначим -появление „герба” при i-м подбрасывании, i = 1,2. Ясно, что

,

и в соответствии с классической схемой вероятности

.

Если не учитывать, что и — совместные события, то можно получить „результат”

,

противоречащий здравому смыслу, поскольку ясно, что событие А не является достоверным. Применяя теорему сложения для двух совместных событий и учитывая равенство

,

находим

Иногда вместо аксиомы 3 удобно использовать две другие аксиомы.

Аксиома 3' (аксиома сложения): для любых попарно непересекающихся событий ,…, справедливо равенство

.

Аксиома 4 (аксиома непрерывности): если последовательность событий ,…, , … такова, что , и

,

то

Можно доказать, что аксиомы 3' и 4 в совокупности равносильны аксиоме 3.

Покажем, как конструктивно можно задать вероятность для некоторых наиболее часто встречающихся на практике пространств элементарных исходов, содержащих бесконечное число элементарных исходов.

Пусть , содержит счетное множество элементарных исходов В этом случае любую вероятностную меру Р можно получить, задав вероятности

элементарных исходов, причем последовательность должна удовлетворять только условиям неотрицательности

и нормированности

т.е. является числовым рядом, сумма которого равна единице. Вероятность любого события А равна сумме вероятностей всех входящих в А элементарных исходов .

Предположим теперь, что пространство элементарных исходов представляет собой числовую прямую с борелевской -алгеброй на ней. Для задания вероятностной меры на числовой прямой можно взять произвольную неубывающую для любого непрерывную слева функцию F(x), yдовлетворяющую условиям

, ,

и каждому событию поставить в соответствие вероятность

,

а событию — вероятность

.

Найденная таким образом для всех событий числовая функция будет удовлетворять аксиомам в определении 2.7. Для других событий из борелевской -алгебры на числовой прямой, вероятность определяется единственным образом с помощью так называемой теоремы о продолжении меры, формулировку и доказательство которой можно найти в специальной литературе.

Определение 2.8. Тройку ( , B, P), состоящую из пространства элементарных исходов , с -алгеброй событий B и определенной на B вероятности P, называют вероятностным пространством.

Таким образом, понятие вероятностного пространства объединяет хорошо известные физические понятия: исход опыта, событие, вероятность события.

2.6. Решение типовых примеров

Пример 2.11. Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найдем вероятность того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани).

Общее число элементарных исходов в данном опыте N = 27. Обозначим: А — событие, заключающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань; В — две грани и С — три грани. Событию А благоприятствует = 6 элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию В — = 12 исходов (число ребер у исходного куба), а событию С — 8 исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому

, , .

Пример 2.12. Из 33 карточек с написанными на них различными буквами русского алфавита наугад извлекаются пять карточек и располагаются слева направо в порядке извлечения. Найдем вероятность появления слова „РАДИО” (событие А).

Поскольку карточки обратно не возвращаются и порядок выбора существен, то общее число элементарных исходов равно числу размещений без повторений из 33 элементов по пять элементов:

.

Событию А благоприятствует только один элементарный исход ( =1). Значит,

.

Пример 2.13. Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка „пик”, семерка „пик”, туз „пик”.

Поскольку порядок выбора в данном случае не существен и карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочетаний без повторений из 52 элементов по три элемента, т.е.

.

Рассматриваемому событию А благоприятствует единственный исход ( = 1). Поэтому

Пример 2.14. Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что при этом два определенных лица окажутся сидящими рядом.

Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с перестановкой из восьми элементов, т.е.