Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

2.30. В отделение связи поступило шесть телеграмм. Телеграммы случайным образом распределяют по четырем каналам, причем каждая телеграмма может быть передана по любому из четырех каналов. Найдите вероятность того, что на первый канал попадут три телеграммы, на второй — две телеграммы, на третий — одна телеграмма и четвертый канал не будет загружен.

Ответ: .

2.31. Чему равна вероятность того, что дни рождения шести наугад выбранных человек придутся в точности на два месяца?

Ответ: .

2.32. В партии из 50 изделий четыре нестандартных. Определите вероятность того, что среди выбранных наугад 10 изделий есть хотя бы одно нестандартное.

Ответ: .

2.33. На стеллаже в библиотеке стоят 15 учебников, причем пять из них в переплете. Библиотекарь берет наудачу три учебника. Найдите вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплете.

Ответ: .

2.34. Колоду из 52 карт случайным образом делят пополам. Найдите вероятность того, что в каждой половине будет по два „туза".

Ответ: .

2.35. Какова вероятность того, что среди выбранных наудачу четырех карт из колоды в 52 карты ровно две окажутся трефовой масти?

О т в е т: .

2.36. Некто купил карточку „Спортлото 6 из 49” и отметил в ней шесть из имеющихся 49 номеров. В тираже разыгрываются шесть „выигрышных” номеров. Найдите вероятности следующих событий: — угадано три номера; — угадано четыре номера; — угадано пять номеров; — угадано шесть номеров.

Ответ: ; ; ; .

2.37. Из колоды в 32 карты наугад выбирают четыре карты. Найдите вероятности того, что среди них окажется: один „туз” (событие А); хотя бы один „туз” (событие В); хотя бы один „туз" и обязательно „туз пик” (событие С).

Ответ: ; ; Р .

2.38. Стержень длиной l ломают на три части, причем точки разлома выбирают наудачу. Найдите вероятность того, что из получившихся частей можно составить треугольник.

Ответ: Р= 1/4 = 0,25;

2.39.Два приятеля условились встретиться в определенном месте между двумя и тремя часами дня. Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Чему равна вероятность встречи приятелей, если приход каждого из них в течение указанного часа может произойти в любое время?

Ответ: Р = 11/36 0,31.

3. Условная вероятность. Схема Бернулли

Рассмотрим события А и В, связанные с одним и тем же опытом. Пусть из каких-то источников нам стало известно, что событие В наступило, но не известно, какой конкретно из элементарных исходов, составляющих событие В, произошел. Что можно сказать в этом случае о вероятности события А?

Вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В произошло, принято называть условной вероятностью и обозначать Р(А|В).

Понятие условной вероятности играет важнейшую роль в современной теории вероятностей. Условная вероятность позволяет учитывать дополнительную информацию при определении вероятности события. В ряде случаев при помощи условной вероятности можно существенно упростить вычисление вероятности. Понятию условной вероятности и посвящена настоящая глава.

3.1. Определение условной вероятности

Предположим сначала, что мы находимся в рамках классической схемы. Пусть событиям А к В благоприятствуют и элементарных исходов соответственно. Посмотрим, что дает нам имеющаяся информация о событии В. Поскольку событие В произошло, то достоверно известно, что в результате опыта появился один из элементарных исходов, составляющих событие В. Значит, теперь уже при определении степени возможности события А необходимо выбирать только из возможных исходов, причем событию А благоприятствуют исходов, при которых происходят и событие А, и событие В, или, другими словами, происходит событие АВ. При этом по-прежнему будем считать все входящих в событие В исходов равновероятными. Поэтому условную вероятность Р(А|В) события А при условии события В в рамках классической схемы вероятности естественно определить как отношение числа исходов , благоприятствующих совместному осуществлению событий А и В, к числу исходов, благоприятствующих событию В, т.е.

.

Если теперь поделить числитель и знаменатель полученного выражения на общее число N элементарных исходов, то придем к формуле .

Обратимся теперь к статистическому определению вероятности.

Пусть п — общее число экспериментов; — число экспериментов, в которых наблюдалось событие А; — число экспериментов, в которых наблюдалось событие В, — число экспериментов, в которых наблюдалось событие АВ. Напомним, что частота события А — это отношение

.

Условной частотой события А при условии, что В произошло (будем обозначать ее ) естественно назвать частоту события А, но только не среди всех повторений опыта п, а лишь среди тех, в которых наблюдалось событие В, т.е.

Последнее выражение можно представить в виде

.

При п , согласно определению 2.6 статистической вероятности, , и, следовательно, условная частота

,

т.е. условной вероятностью события А при условии события В естественно назвать число = Р(АВ)/Р(В).

Таким образом, мы пришли к тому же самому выражению, что и в случае классической схемы.

На основании изложенного выше можно дать следующее определение.

Определение 3.1. Условной вероятностью события А при условии (наступлении) события В называют отношение вероятности пересечения событий А и В к вероятности события В:

. (3.1)

При этом предполагают, что Р(В) 0.

В связи с появлением термина „условная вероятность” будем вероятность события называть также безусловной вероятностью события.

Рассмотрим теперь условную вероятность Р(А|В) как функцию события А.

Теорема 3.1. Условная вероятность Р(А|В) обладает всеми свойствами безусловной вероятности Р(А).

Для доказательства достаточно показать, что условная вероятность Р(А|В) удовлетворяет аксиомам 1, 2 и 3.

Из определения 3.1 следует, что условная вероятность, удовлетворяет аксиоме неотрицательности, так как числитель дроби является неотрицательным числом, а знаменатель — положительным числом.

Поскольку B = В, то

,

т.е. условная вероятность удовлетворяет аксиоме нормированности.

Наконец, пусть — попарно непересекающиеся события. Тогда

и

,

где в последнем равенстве использовано свойство умножения сходящегося ряда на постоянную. Следовательно, условная вероятность удовлетворяет расширенной аксиоме сложения 3. Смысл теоремы 3.1 заключается в том, что условная вероят­ность представляет собой безусловную вероятность, заданную на новом пространстве элементарных исходов, совпадающем с событием В.

Пример 3.1. Рассмотрим опыт с однократным бросанием игральной кости, но не обычной, а с раскрашенными гранями: грани с цифрами 1, 3 и 6 окрашены красным, а грани с цифрами 2, 4 и 5 — белым цветом. Введем события: — впадение нечетного числа очков; — выпадение четного числа очков; В — появление грани красного цвета.

Интуитивно ясно, что если произошло событие В, то условная вероятность события больше, чем условная вероятность события А₂, поскольку на красных гранях нечетных чисел в два раза больше, чем четных. Заметим, что безусловные вероятности событий и А₂ при этом одинаковы и равны, очевидно, 1/2.

Найдем условные вероятности событий и А₂ при условии события В. Очевидно, что

Следовательно, в силу определения 3.1 условной вероятности имеем и ,

что подтверждает наше предположение.

Геометрическая интерпретация условной вероятности. При практическом вычислении условной вероятности события А при условии, что событие В произошло, часто удобно трактовать условную вероятность как безусловную, но заданную не на исходном пространстве , элементарных исходов, а на новом пространстве = В элементарных исходов. Действительно, используя геометрическое определение вероятности, получаем для безусловной и условной вероятностей события А (на рис. 3.1 заштрихованная область соответствует событию АВ).