Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

.

Из независимости событий с ненулевыми вероятностями в совокупности, согласно теореме 3.3, следует их попарная независимость. Однако из попарной независимости, вообще говоря, независимость в совокупности не следует, что демонстрирует следующий пример.

Пример 3.6. Опыт состоит в однократном подбрасывании тетраэдра, грани которого „пронумерованы" следующим образом: на трех гранях стоят цифры 1, 2 и 3 соответственно (одна цифра на каждой из них), а на четвертой присутствуют все цифры 1, 2 и 3.

Введем события — падение тетраэдра на грань, на которой присутствует цифра i, i = . Покажем, что события , и попарно независимы, но зависимы в совокупности.

Согласно классическому определению вероятности, получаем

i = ,

.

Аналогично

при любых i, j = , i j, т.е. события , и являются попарно независимыми. Однако, например,

,

т.е. события , и зависимы в совокупности.

Заметим, что, когда говорят о независимости событий , подразумевают именно независимость событий в совокупности, в отличие от попарной независимости событий

.

Запишем формулу для вероятности объединения независимых событий. Пусть

.

Тогда в соответствии с законом де Моргана

.

Если события независимые, то, согласно теореме 3.5, события также независимые и, значит,

.

Отсюда окончательно получаем формулу для вероятности объединения независимых событий:

.

Замечание 3.4. (о связи между совместными и зависимыми событиями). Между понятиями „несовместные" и „независимые" события имеется следующая связь:

1) если А и В — несовместные события (и Р(А) 0, и Р(В) 0), то они обязательно зависимые (убедитесь самостоятельно) ;

2) если А и В — совместные события, то они могут быть и зависимыми и независимыми;

3) если А и В — зависимые события, то они могут быть и совместными и несовместными.

Следует помнить, что при использовании теоремы сложения вероятностей нужно проверять несовместность событий, а при использовании теоремы умножения — независимость событий.

В заключение отметим, что понятие независимости явля­ется очень важным в теории вероятностей. При этом следует различать формальное понятие независимости событий, определяемое свойствами вероятностной модели, и понятие независимости событий, возникающее в прикладных задачах и означающее, что события не связаны причинно. При корректном построении вероятностной модели второе трансформируется в первое, но это может быть не всегда.

3.4. Формула полной вероятности

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из п событий , которые удовлетворяют следующим двум условиям:

1) они являются попарно несовместными, т.е.

при i j;

2) хотя бы одно из них обязательно должно произойти в результате опыта, другими словами, их объединение есть достоверное событие, т.е.

.

Определение 3.5. События удовлетворяющие условиям 1 и 2, называют гипотезами.

Заметим, что если события удовлетворяют второму из двух указанных требований, то их совокупность называют полной группой событий. Таким образом, гипотезы — это попарно несовместные события, образующие полную группу событий.

Пусть также имеется некоторое событие А и известны вероятности гипотез , которые предполагаются ненулевыми, и условные вероятности события А при выполнении этих гипотез. Задача состоит в вычислении безусловной вероятности события А. Для решения этой задачи используют следующую теорему.

Теорема 3.6. Пусть для некоторого события А и гипотез известны , которые положительны, и

. (3.4)

Тогда безусловную вероятность Р(А) определяют по формуле

, (3.5)

которую называют формулой полной вероятности.

Представим событие А в виде

(на рис. 3.2, область, соответствующая событию А, заштрихована) .

С учетом того, что события несовместны, имеем

P(A) = .

В соответствии с формулой умножения вероятностей получаем

.

Поэтому

.

Формула полной вероятности при всей своей простоте играет весьма существенную роль в теории вероятностей.

Пример 3.7. Путник должен попасть из пункта В в пункт А в соответствии со схемой дорог изображенной на рис. 3.3. Выбор любой дороги в любом пункте равновозможен. Найдем вероятность события А — достижения путником намеченной цели.

Рис.3.2

Для того чтобы попасть в пункт А, путник должен пройти один из промежуточных пунктов или . Введем гипотезы , где означает, что путник выбрал в пункте В путь, ведущий в пункт , i = 1,2,3. Ясно, что события несовместные и одно из них обязательно происходит, причем в силу равновозможности выбора дорог из B в

.

Остается вычислить условные вероятности , которые легко найти, если рассматривать новое пространство элементарных исходов, соответствующее выбранной гипотезе .

Например, появление означает, что есть два равновозможных исхода (из пункта выходят две дороги), из которых лишь один благоприятствует событию А, т.е. .

Аналогично находим, что

Согласно формуле 3.5 полной вероятности, получаем

.

Заметим, что данная задача может иметь техническую интерпретацию: сеть дорог — это сеть каналов передачи информации, а Р(А) — вероятность передачи сообщения по такой сети.

Рис. 3.3

Пример 3.8. Студент выучил все N = 30 экзаменационных билетов, но из них на „пять” — лишь = 6. Определим, зависит или нет вероятность извлечения „счастливого" билета (событие А) от того, первым или вторым выбирает студент свой билет.

3.5. Формула Байеса

Пусть по-прежнему некоторое событие А может произойти с одним из событий , образующих полную группу попарно несовместных событий, называемых, как уже отмечалось, гипотезами. Предположим, что известны вероятности гипотез ( , ) и что в результате опыта событие А произошло, т.е. получена дополнительная информация. Спрашивается, как „изменятся" вероятности гипотез, т.е. чему будут равны условные вероятности , если известны также условные вероятности события А? Для ответа на этот вопрос используют следующую теорему.

Теорема 3.7. Пусть для некоторого события А, Р(А) > 0, и гипотез известны ( , ) и . Тогда условная

вероятность , , гипотезы , при условии события А определяется формулой Байеса . (3.6)

Согласно определению 3.1 условной вероятности,

.

Выражая теперь по формуле умножения вероятностей через и , получаем

. Поэтому .

Подставляя вместо вероятности Р(А) ее значение, вычиненное в соответствии с формулой (3.5) полной вероятности, Приходим к утверждению теоремы.

Формула Байеса находят широкое применение в математической статистике, теории вероятности решений и их приложениях. Заметим, что вероятности обычно называют априорным (т.е. полученными до “опыта”), а условные вероятности - апостериорными (т.е. полученными “после опыта”).

Пример 3.9. Врач после осмотра больного считает, что возможно одно из двух заболеваний, которые мы зашифруем номерами 1 и 2, причем степень своей уверенности в отношении правильности диагноза он оценивает как 40% и 60% соответственно. Для уточнения диагноза бального направляют на анализ, исход которого дает положительную реакцию при заболевании 1 в 90% случаев и при заболевании 2 – в 20% случаев. Анализ дал положительную реакцию. Как изменится мнение врача после этого?

Обозначим через А событие, означающее, что анализ дал положительную реакцию. Естественно ввести следующие гипотезы: - имеет место заболевание 1; - имеет место заболевание 2. Из условий задачи ясно, что априорные вероятности гипотез равны: