Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Определение 3.7. Функцию

называют интегралом Лапласа.

В табл. П.З приведены значения (х)

для положительных х. В силу четности (х) интеграл Лапласа (х) является нечетной функцией, т.е. (-х) = - (х),

и, кроме того,

.

Используя интеграл Лапласа, интегральную формулу Муавра — Лапласа можно записать в виде

.

Пример 3.15. Найдем вероятность того, что при 600 бросаниях игральной кости выпадет от 90 до 120 „шестерок”.

Воспользуемся интегральной формулой Муавра — Лапласа, в которой нужно положить

и

.

Тогда искомая вероятность приближенно равна: Р (2,19)- (-1,10).

В соответствии с табл. П.3 имеем

Р 0,48574 + 0,36433 = 0,85007.

Дадим некоторые рекомендации (носящие, вообще говоря, условный характер) по применению приближенных формул.

Если число испытаний п = 10, 20, то приближенные формулы используют для грубых прикидочных расчетов. При этом формулу Пуассона применяют в том случае, когда А = пр или У = nq изменяются в пределах от 0 до 2 (при п = 10) и от 0 до 3 (при п = 20); в противном случае необходимо пользоваться формулами Муавра — Лапласа.

При п = 20,100 приближенные формулы уже можно использовать для прикладных инженерных расчетов. Формулу Пуассона рекомендуется применять, когда А или А' заключены в пределах от 0 —3 (п = 20) до 0 — 7 (п = 100).

Если п = 100,1000, то практически при любых инженерных расчетах можно обойтись приближенными формулами. Формулу Пуассона используют в случае, когда или ' изменяются в пределах от 0 — 7 (п = 100) до 0 —15 (п = 1000).

Наконец, при п > 1000 даже специальные таблицы рассчитывают с помощью приближенных формул (правда, для увеличения точности используют специальные поправки). В этом случае для применения формулы Пуассона необходимо, чтобы или ' лежали в пределах от 0 до а, где a = 15 при п = 1000 и увеличивается с ростом п.

Во многих задачах рассматривают такие независимые одинаковые испытания, в каждом из которых может произойти не одно из двух несовместных событий (успех и неудача), как в схеме Бернулли, а одно из т таких событий.

Определение 3.8. Опыт, состоящий в n-кратном повторении одинаковых независимых испытаний, в каждом из Которых может произойти одно и только одно из т несовместных событий , причем событие наступает с вероятностью , называют полиномиальной (мультиноминальной) схемой.

Теорема 3.9. Вероятность того, что в п испытаниях событие произойдет ровно раз, ..., событие А_т произойдет ровно п_т раз ( + ... + = п), определяется выражением

По аналогии со схемой Бернулли в полиномиальной схеме исход каждого опыта можно записать в виде набора чисел число на i-м месте означает, что в i -м испытании произошло событие . Поскольку испытания являются независимыми, то исходу соответствует вероятность которую можно записать в виде , где , — число испытаний, в которых произошло событие .

Теперь, для того чтобы найти вероятность , необходимо подсчитать число способов, которыми символов , символов А₂, …, символов А_т можно расставить на п местах (см. также 2.2). Поскольку порядок расстановки не существенен, то символов можно расставить на п местах способами. Затем символов А₂ можно расставить на оставшихся п - местах способами. Продолжая эту процедуру и используя основную формулу комбинаторики, получаем, что общее число способов равно:

.

Отсюда приходим к утверждению теоремы.

Набор вероятностей также называют полиномиальным распределением.

Вероятность можно получить как коэффициент при в разложении полинома

по степеням .

Пример З.16. В некотором государстве живут 60% блондинов, 25 % брюнетов и 15 % шатенов. Найдем вероятность того, что среди восьми наудачу отобранных подданных этого государства окажутся четыре блондина, три брюнета и один шатен.

В данном случае мы имеем дело с полиномиальной схемой, в которой т = 3, = 0,6, р₂ = 0,25, = 0,15, п = 8, = 4, п₂ = 3 и = 1. Тогда

.

Замечание 3.6. Иногда в практических приложениях рассматривают обобщенную схему Бернулли или обощенную полиномиальную (мультиноминальную) схему, для которой третье условие в определениях схемы Бернулли или полиномиальной схемы заменяют следующим: вероятность р успеха или вероятность появления события в i-м испытании могут меняться с изменением номера . Для обобщенных схем также можно указать соответствующие формулы для вероятностей сложных событий, рассматривавшихся выше.

3.7. Решение типовых примеров

Пример 3.17. Одновременно бросают две игральные кости (белую и черную). Рассмотрим следующие события: А — на белой кости выпало более двух очков; В — в сумме выпало четное число очков; С — в сумме выпало менее десяти очков.

Вычислим условные вероятности Р(А|В), Р(В|А), Р(А|С), Р(С|А), Р(В|С) и Р(С|В) и определим, какие из событий А, В и С являются независимыми.

Нетрудно подсчитать в соответствии с классическим определением вероятности, что

Поэтому

Отсюда, в частности, следует, что независимыми являются события А и В. События А и С, В и С зависимые. Поэтому события А, В и С не являются независимыми в совокупности.

Пример 3.18. Каждая буква слова „МАТЕМАТИКА” написана на отдельной карточке. Карточки тщательно перемешаны. Последовательно извлекают четыре карточки. Найдем вероятность события А — получить слово „ТЕМА”?

Пусть и - события, состоящие в последовательном извлечении букв „Т”, „Е”, „М”, „А”. Тогда соответствующие вероятности равны:

Отсюда, согласно формуле умножения вероятностей,

получаем .

Пример 3.19. Обнаружение воздушной цели проводится независимо двумя радиолокационными станциями. Вероятность Р(А) обнаружения цели первой станцией равна 0,7. вероятность Р(В) обнаружения цели второй станцией равна 0,8. Определим вероятность Р(С) того, что цель будет обнаружена хотя бы одной станцией.

По условию события А и В являются независимыми, поэтому по формуле умножения вероятностей для независимых событий вероятность события АВ (цель обнаружена обеими станциями) равна:

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 0,7 • 0,8 = 0,56.

Значит, в силу теоремы сложения вероятностей

Р(С) = Р(А В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) = 0,94.

Так как события А и В независимые, то Р(С) можно найти путем перехода к противоположным событиям А и В. В этом случае, используя закон де Моргана и теорему 3.4, имеем

.

Пример 3.20. Система управления состоит из четырех узлов с номерами 1, 2, 3 и 4 (рис. 3.4). Вероятности безотказной работы узлов равны = 0,7, Р₂ = 0,6, Р₃ = 0,8 и Р₄ = 0,9 соответственно. Вычислим вероятность безотказной работы всей системы управления, считая отказы узлов независимыми событиями.

Вероятность работы Участка 1 — 2 цепи, состоящего из двух соединенных последовательно элементов 1 и 2,

равна: = = 0,42. Вероятность Р₃₄ работы участка 3 — 4 цепи, состоящего из двух соединенных последовательно элементов 3 и 4, равна:

.

Поскольку вся система состоит из параллельно соединенных участков 1 — 2 и 3 — 4, то вероятность ее безотказной работы равна:

.

Рис. 3.4

Пример 3.21. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 обнаруживается дефект, если он есть, и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан негодным. Найдем вероятность того, что проверяемый транзистор будет признан негодным?

Пусть А — событие, состоящее в том, что проверяемый транзистор признан негодным. С этим событием связаны две гипотезы: — проверяемый транзистор дефектный и Н₂ — проверяемый транзистор исправный. По условию

Тогда в силу формулы полной вероятности

Р(А) = 0,1 • 0,95 + 0,9 • 0,03 = 0,122.

Пример 3.22. В поступивших на склад трех партиях деталей годные составляют 89%, 92% и 97% соответственно, а количества деталей в партиях относятся как 1:2:3. Ответим на два вопроса.

1. Чему равна вероятность того, что случайно выбранная со склада деталь окажется негодной?

2. Пусть известно, что случайно выбранная деталь оказалась негодной. Найдем вероятности того, что она принадлежит первой, второй и третьей партиям.

Обозначим Н₁, Н₂ и Н₃ события, состоящие в том, что деталь принадлежит первой, второй и третьей партиям соответственно. Поскольку эти события попарно несовместные и образуют полную группу событий, то они являются гипотезами, причем, как нетрудно подсчитать,

P(H₁)=1/6, P(H₂)=2/6, P(H₃)=3/6.

Событие А — выбранная деталь является негодной. Условные вероятности события А равны:

, , .