Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

4. Одномерные случайные величины

В предыдущих главах мы изучали случайные события, что позволяло нам исследовать вероятностные свойства (закономерности) случайных экспериментов на качественном уровне („да" — „нет"): попадание в цель — промах, отказал прибор за время t — не отказал и т.д.

Однако с момента возникновения теории вероятностей ее основной задачей было изучение не вероятностных свойств экспериментов со случайными исходами, а связанных с этими экспериментами числовых величин, которые естественно назвать случайными величинами. Начиная, с настоящей главы и до конца книги мы будем изучать именно случайные величины.

4.1. Определение случайной величины

Для того чтобы лучше осознать связь, существующую между случайными величинами и случайными событиями, начнем с пояснения понятия случайной величины.

Случайной величиной естественно называть числовую величину, значение которой зависит от того, какой именно элементарный исход произошел в результате эксперимента со случайным исходом. Множество всех значений, которые случайная величина может принимать, называют множеством возможных значений этой случайной величины.

Следовательно, для задания случайной величины необходи­мо каждому элементарному исходу поставить в соответствие число — значение, которое примет случайная величина, если в результате испытания произойдет именно этот исход.

Случайные величины будем обозначать прописными латинскими буквами, снабжая их при необходимости индексами: X, Y, Z и т.д., а их возможные значения — соответствующими строчными буквами: x, y, z. В русскоязычной литературе принято также обозначение случайных величин греческими буквами: и т.д.

Рассмотрим примеры.

Пример 4.1. В опыте с однократным бросанием игральной кости случайной величиной является число X выпавших очков. Множество возможных значений случайной величины X имеет вид

{ = l, = 2, …, = 6}.

Если вспомнить, как выглядит пространство элементарных исходов в этом опыте, то будет очевидно следующее соответ­ствие между элементарными исходами ω и значениями случайной величины X:

X =1 2 ... 6.

Иными словами, каждому элементарному исходу ,

ставится в соответствие число i.

Пример 4.2. Монету подбрасывают до первого появле­ния „герба". В этом опыте можно ввести, например, такие случайные величины: X — число бросаний до первого появления „герба" с множеством возможных значений {1, 2, 3, ...} и Y — число „цифр", выпавших до первого появления „герба", с множеством возможных значений {0, 1, 2, ...} (ясно, что X =Y + 1). В данном опыте пространство элементарных исходов й можно отождествить с множеством

{Г, ЦГ, ЦЦГ,…Ц...ЦГ, ...},

причем элементарному исходу Ц...ЦГ ставится в соответствие число m + 1 или т, где т — число повторений буквы „Ц".

Пример 4.3. На плоский экран падает частица. Будем считать, что нам известна вероятность попадания частицы в любое (измеримое, т.е. имеющее площадь) множество на экране. Случайными величинами в данном случае будут, например, расстояние X от центра экрана до точки падения, квадрат этого расстояния Y = X², угол Z в полярной системе координат и т.д.

Теперь мы можем дать определение случайной величины.

Определение 4.1. Скалярную функцию Х(ω), заданную на пространстве элементарных исходов, называют случайной величиной, если для любого x R {ω: Х(ω) < х} — множество элементарных исходов, для которых Х(ω) < х является событием.

Для краткости условимся в дальнейшем вместо записи {ω: Х(ω) < х} использовать запись {Х(ω) < x}, если необхо­димо подчеркнуть связь случайной величины с пространством элементарных исходов Ω, или даже запись {X < x}, если не ак­центируется внимание на этой связи.

4.2. Функция распределения случайной величины

Для исследования вероятностных свойств случайной величины необходимо знать правило, позволяющее находить вероятность того, что случайная величина примет значение из подмножества ее значений. Любое такое правило называют законом распределения вероятностей, или распределением (вероятностей) случайной величины. При этом слово „вероятностей" обычно опускают.

Общим законом распределения, присущим всем случайным величинам, является функция распределения.

Определение 4.2. Функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события {X < х}, т.е.события, состоящего из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х(ω) < х:

F(x) = Р{Х < х}.

Обычно говорят, что значение функции распределения в точке х равно вероятности того, что случайная величина X примет значение, меньшее х.

Теорема 4.1. Функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1. 0 F(x) 1.

2. F(x₁) F(x₂) при x₁ x₂ (F(x) – неубывающая функция).

3. ,

4. .

5. F(x)=F(x-0), где F(x-0)= ( F(x) – непрерывная

слева функция).

При доказательстве будем использовать свойства вероятностей событий, доказанные в теореме 2.8.

Поскольку значение функции распределения в любой точке х является вероятностью, то из свойства 4 вероятности вытекает Утверждение 1.

Если х₁ < х₂, то событие {X< ) включено в событие

{X <x₂} и, согласно свойству 3, Р{Х < х₁} < Р{Х < х₂}, т.е. в соответствии с определением 4.2 выполнено утверждение 2.

Пусть x₁, ..., х_п, ... — любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к +∞. Событие {X < +∞}, с одной стороны, является достоверным, ас другой стороны, представит собой объединение событий {X < х_п}. Отсюда в силу аксиомы непрерывности следует второе равенство в утверждении 3. Аналогично доказывают и первое равенство.

Событие {X < х₂} при х₁ < х₂ представляет собой объединение двух непересекающихся событий: {X < х₁} случайная величина X приняла значение, меньшее х₁, и {х₁ ≤ X < х₂} случайная величина X приняла значение, лежащее в промежутке [x₁,x₂] Поэтому в соответствии с аксиомой сложения получаем утверждение 4.

Наконец, пусть х₁,...,х_п,... - любая возрастающая последовательность чисел, стремящаяся к х. Событие {X <х}является объединением событий {X < х_п}. Снова воспользовавшись аксиомой непрерывности, приходим к утверждению 5.

На рис. 4.1 приведен типичный вид функции распределения.

Рис. 4.1

Замечание 4.1. Можно показать, что любая неубывающая непрерывная слева функция F(x), удовлетворяющая условиям

F(-∞) =0 и F(+∞) = l,

является функцией распределения некоторой случайной величины X.

Для того чтобы подчеркнуть, какой именно случайной величине принадлежит функция распределения F(x), далее иногда будем приписывать этой функции нижний индекс, обозначающий конкретную случайную величину. Например, для случайной величины X

F_x(x) = P{X<x}.

В некоторых учебниках функцией распределения называют функцию, значение которой в точке х равно вероятности события {X≤x }. Такое определение ничего не меняет во всех наших рассуждениях. Единственное изменение касается свойства 5: функция F(x) будет непрерывна справа.

Чтобы избежать сложных математических конструкций, обычно при первоначальном изучении теории вероятностей ограничиваются только дискретными и непрерывными случайными величинами. Не давая пока строгие определения, приведем примеры:

- дискретных случайных величин (число очков, выпавших при бросании игральной кости; число бросаний монеты до первого появления „герба"; оценка студента на экзамене и т. д.);

- непрерывных случайных величин (погрешность измерений; время до отказа прибора; время опоздания студента на лекцию и т. п).

4.3. Дискретные случайные величины

Определение 4.3. Случайную величину X называют дискретной, если множество ее возможных значений конечно или счетно.

Распределение дискретной случайной величины удобно

исследовать с помощью ряда распределения.

Таблица 4.1

Определение 4.4. Рядом распределения (вероятностей) дискретной случайной величины X называют таблицу (табл. 4.1), состоящую из двух строк: в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины, а в

нижней — вероятности pi = Р{Х = х_i } того, что случайная величина примет эти значения.

Чтобы подчеркнуть, ряд распределения относится именно к случайной величине X, будем наряду с обозначением р_i употреблять также обозначение px_i-Для проверки правильности составления табл. 4.1 рекомендуется просуммировать вероятности p_i. В силу аксиомы нормированности эта сумма должна быть равна единице:

Покажем теперь, как по ряду распределения дискретной случайной величины построить ее функцию распределения F(x). Пусть X — дискретная случайная величина, заданная своим рядом распределения, причем значения Х₁, Х₂,…X_n расположены в порядке возрастания. Тогда для всех х ≤х₁ событие {X < х} является невозможным и поэтому в соответствии с определением 4.2 F(x) = 0 (рис. 4.2). Если х₁ < х ≤ x_2,

Рис. 4.2

событие {X < х} состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых Х(ω) = x₁ и, следовательно,

F(x)=p_1.

Аналогично при x₂ < х≤ х₃ событие {X < х} состоит из элементарных исходов ω, для которых либо X(ω) = x₁, либо X(ω)=x₂, т.е.

{X <х} = {Х = х₁} + {Х = х₂},

а следовательно,

F(x) =p₁+p₂

и т.д. Наконец, при х > х_п событие {X < х} достоверно и

F(x) = 1.

Таким образом, функция распределения дискретной случайной величины является кусочно-постоянной функцией, принимающей на промежутке (-∞,x₁] значение 0, на промежутках[_i,x_i +1], 1≤ i < n, — значение р₁ +… +p_i и на промежутке (x_n,+∞) — значение 1.

Для задания закона распределения дискретной случайной величины, наряду с рядом распределения и функцией распределения используют другие способы. Так, его можно задать аналитически в виде некоторой формулы или графически. Например, распределение игральной кости (см. пример 4.1) описывают формулой

P{X=i}=1/6, i= .