Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Графическое изображение этого распределения приведено на рис. 4.3.

Рис. 4.3

4.4. Некоторые дискретные случайные величины

В этом параграфе рассмотрим некоторые наиболее часто встречающиеся на практике распределения дискретных случайных величин.

Биномиальное распределение. Дискретная случайная величина X распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0,1, 2,..., n в соответствии с распреде­лением, заданным формулой

Р{Х = i}=P_n (i)= , i= или, что тоже самое, рядом распределения, представленным в табл. 4.2, где 0<р, q<1и р + q = 1.

Таблица 4. 2

Проверим корректность определения биномиального распределения. Действительно,

Р_n(i)>0

Биномиальное распределение является не чем иным, как распределением числа успехов X в п испытаниях по схеме Бернулли с вероятностью успеха р и неудачи q= 1- р.

Распределение Пуассона. Дискретная случайная величина X распределена по закону Пуассона, если она принимает целые неотрицательные значения с вероятностями

или, по-другому,с вероятностями, представленными рядом распределения в табл.4.3, где λ >0-параметр распределения Пуассона

Таблица 4.3

Проверка корректности определения распределения Пуассона дает:

С распределением Пуассона мы тоже уже встречались в формуле Пуассона (см. 3.6). Распределение Пуассона также называют законом редких событий, поскольку оно всегда Появляется там, где производится большое число испытаний, в каждом из которых с малой вероятностью происходит „редкое" событие. В соответствии с законом Пуассона распределены, например, число вызовов, поступивших в течение суток на телефонную станцию; число метеоритов, упавших в определенном районе; число распавшихся частиц при радиоактивном распад вещества.

Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть X — число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Тогда X — дискретная случайная величина, принимающая значения 0,1, 2,...,n,... Определим вероятность события {X =n}. Очевидно, что X = О, если в первом же испытании произойдет успех. Поэтому

4.5. Непрерывные случайные величины

Определение 4.5. Непрерывной называют случайную величину X, функцию распределения которой F(x) можно представить в виде(x)= (4.1)

функцию р(х) называют плотностью распределения (вероятностей) случайной величины X.

Предполагают, что несобственный интеграл в представлении (4.1) сходится.

Как и прежде, для того чтобы подчеркнуть принадлежность плотности распределения случайной величине X, будем наряду с записью р(х) употреблять запись (х).

Все реально встречающиеся плотности распределения случайных величин являются непрерывными (за исключением, быть может, конечного числа точек) функциями. Следовательно, функция распределения для непрерывной случайной величины является непрерывной на всей числовой оси и в точках непрерывности плотности распределения р(х) имеет место равенство

p(x) = F'(x), (4.2)

что следует из свойств интеграла с переменным верхним пределом . Только такие случайные величины мы и будем рассматривать в дальнейшем.

Замечание 4.2. Соотношения (4.1) и (4.2), связывающие между собой функцию и плотность распределения, делают понятной следующую терминологию, часто употребляемую На практике. Функцию распределения F(x) называют интегралъным законом распределения случайной величины, а плотность распределения р(х) — дифференциальным законом распределения той же случайной величины.

На рис. 4.4 изображен типичный вид плотности распределения Р(х)

Рис.4.4

Теорема 4.2. Плотность распределения имеет свойства:

Утверждение 1 следует из того, что плотность распределения является производной от функции распределения, в силу свойства 1 функции распределения она является неубывающей функцией, а производная неубывающей функции неотрицательна.

Согласно свойству 2 функции распределения,

P{ ≤ X < х₂} = F(x₂) - F( ).

Отсюда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и свойством аддитивности сходящегося несобственного интеграла имеем

ч то и доказывает утверждение 2.

В частности, если х₁ , х₂ , то событие

Р{Х = 0}=р.

Далее, X = 1 в том случае, когда в первом испытании произошла неудача, а во втором — успех. Но вероятность такого события (см. теорему 3.8), равна qp, т.е.

Р{Х = 1} = qp.

Аналогично X = 2, если в первых двух испытаниях произошли неудачи, а в третьем — успех, и, значит,

P{X = 2} = qqp.

Продолжая эту процедуру, получаем

P{X = i} = pqⁱ i = 0,1,...

Таким образом, случайная величина X имеет ряд распределе­ния, представленный в табл. 4.4.

Таблица 4.4

Случайную величину с таким рядом распределения называют распределенной согласно геометрическому закону. Правильность составления табл. 4.4 вытекает из равенства

{ < X < } является достоверным, и поэтому справедливо утверждение 3.

Согласно свойству 4 (см. теорему 4.1),

Р{x < X < х + Δх) = (x + Δх) - F(x) = ΔF(x).

Если Δх „мало" (см. рис. 4.4), то имеем

что и доказывает утверждение 4.

Наконец, поскольку в силу определения 4.5 функция распределения случайной величины есть несобственный интеграл от плотности, то она является непрерывной, что приводит нас к утверждению 5.

Замечание 4.3. В силу свойства 2 плотности распределения вероятность попадания непрерывной случайной величины в промежуток [x₁,х₂] численно равна площади криволинейной трапеции, заштрихованной на рис. 4.4.

Согласно свойству 3 площадь, заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна единице.

В соответствии со свойством 4 вероятность попадания случайной величины X в некоторый „малый" промежуток

(х, х + Δх) практически пропорциональна Δх с коэффициентом пропорциональности, равным значению плотности распределения в точке х. Поэтому выражение р(х)Δх или p(x)dx называют иногда элементом вероятности. Можно также сказать, что непрерывная случайная величина реализует геометрическую схему с коэффициентом пропорциональности но только в „малой" окрестности точки х.

Наконец, согласно свойству 5, вероятность попадания в любую (заданную до опыта) точку для непрерывной случайной величины равна нулю.

В заключение отметим, что на практике иногда встречаются случайные величины, которые нельзя отнести ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, как показывает следующий пример.

Пример 4.4. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором = 1 мин горит зеленый свет, = 0,5 мин — красный, опять 1 мин — зеленый, 0,5 мин — красный и т.д. В случайный момент времени, не связанный с работой светофора, к перекрестку подъезжает автомобиль.

Пусть X — время ожидания у перекрестка. Покажем, что X не является ни дискретной, ни непрерывной случайной величиной.

Обозначим t = + = 1,5 мин цикл работы светофора. Естественно считать, что автомобиль подъезжает к перекрестку в случайный момент времени по отношению к циклу работы светофора. Тогда, с одной стороны, с вероятностью = 2/3 автомобиль проедет перекресток не останавливаясь, т.е. X принимает значение 0 с вероятностью 2/3 > 0. Поэтому X не может быть непрерывной случайной величиной. С другой стороны, на второй 0,5-минутной части цикла работы светофора время ожидания X может принять любое значение от 0 до 0,5. Значит, X не может быть также дискретной случайной величиной.

Для того чтобы лучше понять существо дела, построим функцию распределения F(x) случайной величины X. Поскольку время ожидания не может принять отрицательное значение, то F(x) = 0 для всех х < 0. Далее если 0 < х < 0,5, то событие {X < х} происходит в том случае, когда автомобиль либо попадет на первую часть цикла работы светофора (зеленый свет), либо подъедет к светофору при красном свете, но до включения зеленого света останется время, меньшее х. В соответствии с определением геометрической вероятности

4.6. Некоторые непрерывные случайные величины

Приведем примеры некоторых наиболее важных распределений непрерывных случайных величин. То, что приводимые функции F(x) являются функциями распределения, следует из замечания 4.1 и проверяться не будет.

Равномерное распределение. Случайная величина име­ет равномерное распределение на отрезке [а, b], если ее плотность распределения

Легко видеть, что функция распределения в этом случае определяется выражением

Графики плотности распределения р(х) и функции распределения F(x) приведены на рис. 4.6 и 4.7.

Рис. 4.6 Рис. 4.7

Вероятность попадания равномерно распределенной случайной величины в интервал ж₂)> лежащий внутри отрезка [а,b], равна F(x₂) - F(x₁) = (b– a), т.е. пропорциональна длине этого интервала. Таким образом, равномерное распределение реализует схему геометрической вероятности при бросании точки на отрезок [а, b].

Экспоненциальное распределение. Случайная величина распределена по экспоненциальному (показательному) закону, если она имеет плотность распределения

где λ > 0 — параметр экспоненциального распределения. Для Функции распределения в данном случае нетрудно получить бедующее выражение:

Графики плотности распределения и функции распределения экспоненциально распределенной случайной величины при­ведены на рис. 4.8 и 4.9.

Рис. 4.8

Рис.4.9

Экспоненциально распределенная случайная величина может принимать только положительные значения.

Примером случайной величины, имеющей экспоненциальное распределение, является время распада радиоактивных элементов. При этом число

называют средним временем распада. Кроме того, употребля­ют также число