Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Система уравнений (10.30) в данном случае принимает вид

115a-27b+19c=19,3; -27a+19b-3c=25,3; 19a-3b+6c=-11,9. Решив эту систему, получим a=1011; b=2,116; c=-4,126. Следовательно, y=1011x²+2,116x-4,126.

Пример 10.3

В «Основах химии» Д.И. Менделеев приводит данные о растворимости азотно-натриевой соли NaNO₃ в зависимости от температуры воды. В 100 частях воды растворяется следующее количество условных частей NaNO₃ (y) при температуре (x):

Д.И. Менделеев указывает, что зависимость между x и y можно выразить формулой y=0,87x+67,5.

Произведем вычисления, необходимые для проверки этого утверждения. Можно показать, что между x и y существует линейная зависимость.

Результаты измерений и итоги их обработки представим в таблице:

Cистема уравнений (10.30) в этом случае имеет вид 10144a+234b=2428,6; 234a+9b=811,3. Из этой системы находим a=0,87, b=67,5, т.е. зависимость между x и y выражается приближенной формулой y=0,87x+67,5.

11. ПРОЦЕСС ПУАССОНА.

МАРКОВСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ.

ПРОЦЕССЫ С НЕЗАВИСИМЫМИ

ПРИРАЩЕНИЯМИ.

Основные понятия.

Практические задачи часто бывают связаны с изучением случайных величин, изменяющихся во времени. Например, помехи радиоприема случайны и зависят от времени, этим же свойством обладают отклонения управляемого объекта от расчетной траектории. Математической абстракцией подобных процессов является понятие случайного процесса или случайной функции X(t). Случайный процесс Х(t) характеризуется следующими чертами:

1) при каждом значении времени = определена случайная величина со своим законом распределения f(x). Случайная величина называется сечением случайного процесса Х(t) в точке ;

2) случайные величины Х( ) и Х( ), как правило, зависимы, в особенности, если и близки (т.е. при малых

| - |). Если рассмотреть последовательность моментов времени

, ,…, (| – | = ∆) (11.1)

и соответствующие им случайные величины

Х( ), Х( ), …, Х( ) (11.2)

- сечения процесса Х(t), то можно говорить о совместном распределении этих случайных величин.

Функции

(11.3)

Называются n – мерными конечномерными функциями распределения случайного процесса ( n = 1, 2, … ).

Функции называются k – мерными дифференциальными конечномерными функциями распределения случайного процесса. Справедлива формула

(11.4)

Функция

для каждого набора аргументов задает вероятность (в случае ДСВ) или плотность вероятности (в случае НСВ) события Х( ) = , Х( ) = ,…, Х( ) = при условии, что наступило событие Х( ) = , …, Х( ) = .

Изложенная точка зрения на случайную функцию показывает, что это понятие является весьма сложным. Все же в некоторых случаях бывает полезным рассматривать совместное распределение величин (11.2).

Рассмотрим другую точку зрения на описание случайного процесса. Будем рассматривать Х(t) как опыт, результатом которого является функция φ(t) из некоторого заданного класса L (в большинстве прикладных задач L состоит из непрерывных функций или функций, обладающих той или иной степенью гладкости). Для количественного описания случайного процесса Х(t) нужно уметь вычислять вероятности P(Ω) того, что заданная функция φ(t) – результат испытания, проведенного над Х(t), - принадлежит тому или иному подмножеству Ω множества L. При этом должны выполняться условия:

1) 0 ≤ P(Ω) ≤ 1

2) P(Ω1 U Ω2 )= P(Ω1)+ P(Ω2). (11.5)

Последнее равенство справедливо для любых двух непересекающихся и . Такие функции φ(t) называют мерами в множестве L. Функция φ(t), полученная в результате испытания, называется реализацией (или траекторией) случайного процесса (случайной функции) Х(t). Сама функция φ(t) является неслучайной.

Определение 11.1. Математическим ожиданием случайного процесса (случайной функции) Х(t) называется неслучайная функция M(X(t)), значение которой в каждой точке равно математическому ожиданию случайной величины Х( ) – сечения случайного процесса Х(t).

Определение 11.2. Дисперсией случайного процесса Х(t) называется неслучайная функция D(Х(t)), значение которой в каждой точке равно дисперсии случайной величины Х( ) - сечения случайного процесса Х(t).

По определению среднеквадратическое отклонение X(t) случайного процесса X(t) равно квадратному корню из его дисперсии, т.е. X(t) .

Определение 11. 3. Ковариационной функцией случайного процесса X(t) называется неслучайная функция cov(s, t), значение которой в точке равно ковариации случайных величин и – сечений случайного процесса X(t) в точках и .

Нормированной ковариационной функцией случайного прочеса X(t) называется неслучайная функция , значение которой в каждой точке равно коэффициенту корреляции случайных величин и – сечений случайного процесса X(t) в точках и . Справедлива формула:

. (11.6)

Рассматривают так же ковариационную функцию

(s, t) и нормированную ковариационную функцию (s, t) пары случайных процессов X и Y. По определению (s, t) = , (11.7)

(11.8)

При этом справедливы отношения:

, (11.9)

Значения функций (s, t) и (s, t) измеряют степень линейной зависимости сечений X(t) и Y(t). В связи с этим ковариационную и нормированную ковариационную функции случайного процесса X(t) называют иногда соответственно автоковариационной и нормированной автоковариационной функцией.

Стационарные случайные процессы

В приложениях теории вероятностей часто встречаются так называемые стационарные случайные процессы.

Определение11. 4. Случайный процесс называется стационарным, если для всех его n конечных функций распределения при любом t0 справедливо равенство

(11.10)

Свойство стационарного процесса, выраженного формулой (11.10), означает инвариантность, т.е. независимость конечных распределений относительно сдвига во времени на величину . В частности, это означает, что все сечения случайного процесса X(t) одинаково распределены и ковариационная функция cov(s, t) обладает следующим свойством: для любых таких, что справедливо равенство . Из последнего условия следует, что cov(s, t) будучи функцией двух переменных s и t, фактически зависит от разности (s - t), т.е. существует функция одной переменной , обладающая свойством cov(s, t) = , где = .

Если X(t) – случайный процесс, описывающий отклонение управляемого объекта от расчетной траектории, то этот процесс является стационарным тогда, когда факторы, вызывающие отклонение, не меняются со временем (установившийся режим полета).

Определение 11.5. функция - математическое ожидание произведения случайных величин и ,называется корреляционной функцией случайного процесса .

Рассмотрим также корреляционную функцию пары случайных процессов и . По определению: . (11.11)