Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Отметим, что

В целях наглядности статистическое распределение изображается графически. Если статистическое распределение задано перечнем вариант x_i и соответствующих частот n_i, то на оси абсцисс откладывают варианты x_i на оси ординат – частоты n_i строят точки М₁(х₁,п₁),М₂(х₂,п₂),…,M_k(x_k,n_k) и последовательно соединяют их отрезками прямых; полученная ломаная называется полигоном частот. Аналогично строится полигон относительных частот, т.е. ломаная, отрезки которой последовательно соединяют точки М₁(х₁, ₁),М₂(х₂, ₂),…,M_k(x_k, _k), где _i - относительная частота x_i. На рис. 9.1 изображен полигон частот распределения, указанного в примере. Кроме дискретных вариационных рядов рассматриваются интервальные вариационные ряды, в которых значения признака могут меняться непрерывно. Примерами непрерывных случайных величин, валов, являются: урожай какой-либо зерновой культуры и др.

Рис.9.1

Пусть имеются результаты измерений непрерывной случайной величины X, для которой а и - соответственно наименьшее и наибольшее значение. Отрезок [а,b] разобьем на k элементарных отрезков. Обозначим через число значений величины X, принадлежащих интервалу Построим таблицу. Эта таблица называется интервальным вариационным рядом. Относительной частотой соответствующей i-му интервалу, называется отношение частоты n_i к объему выборки n , где . Очевидно,

Разности называются интервальными разностями. Разность между наибольшим и наименьшим значением признаках X , т.е. х_к-х₀ (или b-a ), называется размахом вариации. Плотностью распределения частот на интервале называется частное

n_{i /(} х_i-х_i-1) (i=1,2,…k) (9.6)

Интервальный вариационный ряд будет наиболее простым, когда все интервальные разности равны между собой, т.е. плотность распределения частот на i-м интервале в этом случае равна n_i /h_i.

Если статистическое распределение задано перечнем интервалов и соответствующих им частот, то строят гистограмму частот.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников с основаниями и высотами . В случае равенства интервальных разностей все прямоугольники имеют одно и то же основание h, их высоты равны . На оси абсцисс откладывают частичные интервалы длины h, над i-м интервалом строят прямоугольник высоты (плотность частоты). Отметим, что площадь S гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки. Действительно, если – площадь i-го прямоугольника, то

На рис. 9.2 изображена гистограмма частот распределения объема п = 100, указанного в таблице

Рис.9.2

Аналогично строится гистограмма относительных частот, т.е. ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых равны длина каждого частичного интервала), а высоты - (это отношение

называется плотностью относительной частоты).

Очевидно, площадь s гистограммы относительных частот равна сумме относительных частот, т.е. единице. В самом деле, если - площадь i-го прямоугольника, то

9.3. Эмпирическая функция распределения

Эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборки, называется функция, определяющая для каждого значения х относительную частоту события X < х. Обозначим эмпирическую функцию распределения через F*(x); если - число вариант, меньших х, п - объем выборки, то по определению

(9.7)

Из определения эмпирической функции следует, что свойствами: 1)значения функции принадлежат отрезку [0,1]; 2) F*(x) – неубывающая функция; 3) если a- наименьшая , b- наибольшая варианта , то F*(x)=0 при x≤ a; F*(x) = l при x>b. Функцию F(x) распределения генеральной совокупности, в отличие от эмпирической функции F^*(x) распределения выборки, называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функцией распределения состоит в том, что первая определяет относительную частоту события X < x, а вторая - вероятность того же события.

Пример.

Найти эмпирическую функцию по данному распределению выборки :

Объем выборки = 2 + 3 + 10 + 5 = 20. Наименьшая варианта =6, поэтому F*(x) = 0, если x≤ 6. Значение X < 8, т.е. =6, наблюдалось 2 раза, поэтому F* (x) = = 0,1, если 6 < x ≤ 8. Значения X < 12, т.е. = 6, х₂ = 8, наблюдались 2 + 3 = 5 раз, поэтому F* (x) = 5/20= 0, 25 , если 8 < x≤ 12.

Значения X < 15, т.е. = 6, = 8, х₃ = 12, наблюдались 2 + 3 + 10=15 раз, поэтому F*(x) = = 0,75, если 12 < x ≤ 15.

Поскольку = 15 - наибольшая варианта, то F*(x) = 1, если x > 15. Итак, искомая эмпирическая функция определяется формулами

Рис. 9.3

9.4 Оценка параметров по выборке. Понятие несмещенности , состоятельности и эффективности оценки

Пусть случайная величина X имеет распределение F( ), содержащее неизвестный параметр. Требуется оценить параметр , т.е. приближенно определить его значение по некоторой выборке ,, ..., Оценку параметра α, обозначим через ; очевидно, зависит от ,, ..., , т.е.

= ( , (9.8)

Отметим, что является случайной величиной, так как в i- й серии из n испытаний принимает некоторое значение . Следовательно, можно говорить о распределении этой величины и о числовых характеристиках распределения.

Чтобы оценка неизвестного параметра α имела практическую ценность, к ней предъявляются некоторые требования.

Оценка параметра называется несмещенной, если математическое ожидание равно , т.е.

M ( ) = α, (9.9)

и смещенной, если