Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

.

Иными словами, выполнение закона больших чисел отражает предельную устойчивость средних арифметических случайных величин: при большом числе испытаний они практически перестают быть случайными и совпадают со своими средними значениями. Очевидно, что последовательность удовлетворяет закону больших чисел тогда и только тогда, когда среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к нулю при .

Теорема 8.3. Если последовательность независимых случайных величин такова, что существуют и , причем дисперсии ограничены в совокупности (т.е. ), то для последовательности выполнен закон больших чисел. При этом говорят также, что к последовательности случайных величин применим закон больших чисел в форме Чебышева.

Следствие 8.1. Если случайные величины , i= 1,2,..., в условиях теоремы 8.3 являются также одинаково распределенными (в этом случае и ), то последовательность случайных величин удовлетворяет закону больших чисел в следующей форме:

.

Теорема 8.4. Пусть проводится п испытаний по схеме Бернулли и Y_n — общее число успехов в п испытаниях. Тогда наблюденная частота успехов

сходится по вероятности к вероятности р успеха в одном испытании, т.е. для любого > 0

.

Обозначим число успехов в i-м испытании Бернулли. Тогда частоту успехов в п испытаниях можно определить в виде

, причем M =р и D = pq.

Значит, выполняются все условия следствия 8.1, из которого вытекает утверждение теоремы. Теорему 8.4 называют также теоремой Бернулли, или законом больших чисел в форме Бернулли. Из хода доказательства теоремы 9.4 видно, что закон больших чисел в форме Бернулли является частным случаем закона больших чисел в форме Чебышев.

9. Элементы математической статистики

Математическая статистика занимается разработкой методов сбора, описания и обработки опытных данных, т.е. результатов наблюдений, с целью получения научных и практических выводов.

9.1. Выборочный метод. Основные понятия

Статистической совокупностью называется множество однородных объектов, объединенных по некоторому общему отличительному признаку. Примеры статистических совокупностей: множество рабочих данного цеха при изучении вопроса о количестве выпускаемой продукции, множество населения данной страны при исследовании ее трудовых ресурсов. Отличительные признаки: производительность труда в первом случае, возрастной состав населения во втором.

Пусть требуется изучить некоторый признак статистической совокупности. Для этого можно провести сплошное обследование. Но если число объектов достаточно велико, то осуществить указанное обследование не представляется возможным. Если же изучение связано с уничтожением объекта (например, при определении продолжительности времени работы электронного оборудования) или с большими материальными затратами, то сплошное обследование не имеет смысла. Вследствие этого для изучения интересующего признака применяется выборочный метод. Сущность этого метода заключается в том, что обследованию подвергаются не все объекты совокупности, а только некоторая их часть, случайно выбранная из данной совокупности; выводы, полученные при изучении этой части, распространяются на всю совокупность объектов.

Введем основные определения и понятия, связанные с выборочным методом.

Генеральной совокупностью называется совокупность всех однородных объектов, подлежащих изучению. Выборочной совокупностью, или выборкой, называется совокупность объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется число ее объектов. Например, если из 10 000 изготовленных деталей для обследования отобрано 100, то объем генеральной совокупности N = 10 000, объем выборки п = 100. Выборка бывает повторной (с возвращением исследуемого объекта в генеральную совокупность) и бесповторной (без указанного возвращения). На практике чаще используется бесповторная выборка. Выборка должна быть репрезентативной (представительной), т.е. такой, по которой можно уверенно судить об интересующем признаке всей генеральной совокупности. Выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайным образом.

При изучении некоторого признака выборочной совокупности производятся испытания (наблюдения). Пусть посредством независимых испытаний, проведенных в одинаковых условиях, получены следующие числовые значения: , ….., где п - объем выборки. Расположим эти значения в порядке их возрастания:

x₁, x₂, …, x_n ( x₁ x₂ … x_n ) (9.1)

Последовательность наблюдаемых значений (i=1,2 … , n) записанных в возрастающем порядке (9.1), называется дискретным вариационным рядом, а сами эти значения называют вариантами. Среди вариант могут оказаться равные, тогда дискретный вариационный ряд можно записать так:

x₁, x₂, …, x_k (9.2)

n₁, n₂, …, n_k

где - частота появления значения причем

n₁+n₂+…+n_k = n , (9.3)

Относительной частотой варианты называется отношение ее частоты к объему выборки:

(9.4)

Очевидно,

, (9.5)

т.е. сумма относительных частот всех вариантов равна 1.

9.2. Статистическое распределение. Полигон и гистограмма

Статистическим распределением выборки называется соответствие между вариантами и их частотами (или относительными частотами). Статистическое распределение может быть задано, например, с помощью таблицы, в которой указаны варианты и соответствующие им частоты.

Пример.

Задано распределение частот выборки объема п = 60:

Найти распределение относительных частот.

Применяя формулу (9.4), вычисляем относительные частоты:

Следовательно, распределение относительных частот определяется таблицей