Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

Для проверки правильности составления табл. 7.1 рекомендуется просуммировать по столбцам. Сумма элементов последней строки должна быть равна 1.

Таблица 7.1

Аналогично определяют условную вероятность того, что случайная величина Y примет значение при условии : .

Пример 7.1. Условное распределение случайной величины X (числа очков выпавших на верхней грани игральной кости, при условии (числа очков, выпавших на нижней грани игральной кости), , представлено в табл. 7.2. Действительно, если, например, на нижней грани выпало одно очко, то на верхней грани может выпасть только шесть очков ( ).

Таблица 7.2

В общем случае (т.е. когда X и Y не обязательно дискретные случайные величины) хотелось бы ввести условную функцию распределения случайной величины X при условии по формуле

. (7.2)

Однако это не всегда возможно (например, для непрерывной случайной величины Y событие имеет нулевую веро­ятность, т.е. Р{Y = у} = 0). Поэтому воспользуемся предельным переходом, рассматривая вместо события {Y= у} событие и устремляя к нулю.

Ограничимся случаем, когда двумерный случайный вектор

(X, Y) имеет непрерывную совместную плотность распределения р(х,у), а следовательно , и маргинальные плотности распределения

и ,

которые также будем считать непрерывными.

Таким образом, по определению, имеем

. (7.3)

При сделанных предположениях о непрерывности случайного вектора (X, У) условная функция распределения имеет производную по x, т.е. существует условная плотность распределения случайной величины X при условии Y = y:

. (7.4)

Аналогично определяют условную функцию распределения и условную плотность распределения случайной величины Y при условии X = х:

,

.

Для краткости далее вместо и будем писать и .

Итак, для непрерывного случайного вектора (X, Y) мы пришли к следующему определению условной плотности распределения.

Определение7.2. Условной плотностью распределения случайной величины X, являющейся координатой двумерного случайного вектора (X, Y), при условии, что другая его координата приняла некоторое фиксированное значение у, т.е. Y = y, называют функцию , определяемую соотношением

. (7.5)

Аналогично определяют условную плотность распределения координаты Y при условии X = х

. (7.6)

Введенные понятия — условное распределение (дискретной случайной величины), условная функция распределения и условная плотность распределения (для непрерывных случайных величин) — называют условными законами распределения.

Для проверки независимости случайных величин часто удобно пользоваться следующим критерием.

Критерий независимости случайных величин X и Y.

Случайные величины X и Y являются независимыми тогда

и только тогда, когда условное распределение (функция распределения, плотность распределения) случайной величины X при условии Y= у совпадает с безусловным распределением (функцией распределения, плотностью распределения) случайной величины X.

В частности, дискретные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда все условные вероятности

совпадают с безусловными вероятностями

,

т.е. все столбцы табл. 7.1 совпадают с последним.

7.2. Условные числовые характеристики

Рассмотрим двумерную случайную величину (X, Y). В соответствии с результатами предыдущего параграфа можно определить условное распределение случайной величины X при условии, что случайная величина Y приняла определенное значение у. Поскольку условное распределение обладает всеми свойствами обычного (безусловного) распределения, то по нему можно определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики, которые естественно назвать условными. Начнем со случая дискретной случайной величины (X, Y). Пусть случайная величина X принимает значения случайная величина Y — значения и пусть

условные вероятности случайной величине X принять значение при условии .

Определение 7.3. Для дискретной двумерной случайной величины (X, Y) значением условного математического ожидания дискретной случайной величины X при условии , называют число

.

Далее для краткости будем писать вместо

.

По аналогии с (безусловным) математическим ожиданием M(Х) случайной величины X значение условного математического ожидания при условии задает „среднее" значение случайной величины X, но при условии, что случайная величина Y приняла значение .

Таким же образом интерпретируют значение условного математического ожидания случайной величины Y при условия .

Согласно определению 7.3, значение условного математического ожидания зависит от значения случайной величины Y, и только от него. Вспоминая понятие функции от случайной величины, приходим к следующему определению условного математического ожидания.

Определение 7.4. Условным математическим ожиданием М(Х|Y) дискретной случайной величины X относи­тельно дискретной случайной величины Y называют функцию

M(X|Y)=g(Y)

от случайной величины Y, где область определения функции g(у) совпадает с множеством значений случайной величины Y, а каждому значению аргумента у поставлено в соответствие число