Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

6.

Утверждение 1 вытекает из очевидного соотношения

.

Если случайные величины и являются независимыми (и имеют математические ожидания), то

,

откуда приходим к утверждению 2.

Пусть , . Тогда

Поэтому справедливо утверждение 3.

Рассмотрим дисперсию случайной величины

,

где х — произвольное число. В силу свойств дисперсий можно получить свойства 3 ковариации

.

Дисперсия , как функции от x, представляет собой квадратный трехчлен. Но дисперсия любой случайной величины не может быть меньше нуля, а это означает, что дискриминант

(6.10)

квадратного трехчлена является неположительным, т.е. имеет место утверждение 4.

Далее, пусть выполнено равенство (6.8). Значит, дискрими­нант (6.10) равен нулю, и уравнение

= 0

имеет решение, которое обозначим а. Тогда случайная величина принимает всего одно значение (допустим, 6), и, следовательно, ,

т.е. из (6.8) вытекает (6.9). Наоборот, пусть выполнено (6.9). Тогда в соответствии со свойством 1 дисперсии D(Y_a) = 0, а значит, дискриминант (6.10) является неотрицательным. Поскольку при доказательстве утверждения 4 было показано, что этот дискриминант неположителен, то он равен нулю, откуда следует, что

.

Таким образом, из (6.9) вытекает (6.8). Утверждение 5 полностью доказано.

Наконец, раскрывая скобки в формуле, определяющей ковариацию, и используя свойства математического ожидания, получаем утверждение 6, которое часто бывает полезным при

численном подсчете ковариации.

Замечание . Если случайные величины связаны линейной зависимостью ,то в соответствии со свойствами 3 и 1

Поэтому знак ковариации совпадает со знаком коэффициента а и свойство 5 допускает следующее уточнение:

при а > 0;

при a < 0.

Определение 6.7. Случайные величины X и У называют некоррелированными, если их ковариация равна нулю, т.е.

cov(X,Y) = 0.

Приведенный выше пример показывает, что из некоррелированности случайных величин не следует их независимость, можно сказать, что ковариация случайных величин отражает, насколько их зависимость близка к линейной. Существенным недостатком ковариации является то, что ее размерность совпадает с произведением размерностей случайных величин. Естественно, хотелось бы иметь безразмерную

характеристику степени линейной зависимости. Но это очень просто сделать — достаточно поделить ковариацию случайных величин на произведение их средних квадратичных отклонений.

Определение 6.8. Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называют число , определяемое равенством (предполагается, что D(X) > 0 и D(Y) > 0)

.

Теорема 6.5. Коэффициент корреляции имеет следующие свойства.

1. = 1.

2. Если случайные величины X и Y являются независимыми (и существуют D(X) >0 и D(Y) >0), то = 0.

3. . При этом знак плюс нужно брать в том случае, когда и имеют одинаковое знаки, и минус — в противном случае.

4. .

5. | | = 1 тогда и только тогда, когда случайные величины X и Y связаны линейной зависимостью.

Доказательство теоремы следует из свойств ковариации, и мы предлагаем провести его самостоятельно.

Пример 6.6. Найдем коэффициент корреляции случайных величин X — числа очков, выпавших на верхней грани игральной кости, и Y — на нижней (см. пример 5.5). Для этого сначала вычислим M(X), M(Y), D(X), D(Y) и . Воспользовавшись табл. 5.3, получим

Аналогично можно вычислить:

Таким образом,

Впрочем, это мы могли бы установить и без всяких вычислений в силу свойства 5 коэффициента корреляции, если бы вспомнили, что сумма чисел очков на противоположных гранях равна семи и, значит,

(X и Y связаны линейной зависимостью с отрицательным коэффициентом пропорциональности).

6.5. Решение типовых примеров

Пример 6.7. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной

величины X, ряд распределения которой представлен в таблице.

В соответствии с определением математического ожидания дискретной случайной величины X

.

Дисперсию находим по формуле D(Х )= M(X²)- (MX)². Математическое ожидание квадрата X равно

.

Поэтому D(X) = 1,32 - 0,8² = 0,68.

Наконец, среднее квадратичное отклонение

.

Пример 6.7. Найдем математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение непрерывной случайной величины X, плотность распределения которой имеет вид

В соответствии с определением математического ожидания непрерывной случайной величины X

.

Вычислим теперь дисперсию X: .Наконец,

7. Условные характеристики случайных величин

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие условной вероятности, введенное в гл. 3. Там же было показано, что условная вероятность Р(А|В) обладает всеми свойствами безусловной вероятности и так же, как и безусловная вероятность, представляет собой численную меру наступления события А, но только при условии, что событие В произошло. Аналогом понятия условной вероятности для двух случайных величин X и Y является условный закон распределения одной из них, допустим, X при условии, что вторая случайная величина Y приняла определенное значение. С помощью условного закона распределения вводят условные числовые характеристики. Именно эти понятия и рассматриваются в настоящей главе.

1. Условные распределения

Понятие условного распределения, как обычно, введем только для случаев дискретных и непрерывных случайных величин. В случае двумерной дискретной случайной величины (X, Y) будем предполагать для простоты изложения, что множества возможных значений случайных величин X и Y являются конечными, т.е. координаты X и Y принимают значения , и , соответственно. В этом случае, как мы знаем, закон распределения двумерного случайного вектора (X, Y) удобно задавать набором вероятностей

для всех значений i и j. Напомним, что, зная вероятности нетрудно найти законы распределений каждой из координат по формулам

, .

Определение 7.1. Для двумерной дискретной случайной величины (X, Y) условной вероятностью , , того, что случайная величина X примет значение при условии , называют условную вероятность события при условии события , т.е.

(7.1)

При каждом j, , набор вероятностей определяет, с какими вероятностями случайная величина X принимает различные значения -, если известно, что случайная величина Y приняла значение . Иными словами, набор вероятностей , характеризует условное распределение дискретной случайной величины X при условии . Обычно условное распределение дискретной случайной величины X при условии, что дискретная случайная величина Y примет все возможные значения, задают с помощью табл. 7.1. Элементы табл. 7.1 получают из элементов табл. 5.1, используя формулу . Очевидно, что, наоборот, элементы табл. 5.1 можно выразить через элементы табл. 7.1 с помощью соотношения