Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

5.4. Независимые случайные величины

Определение 5.5. Случайные величины X и Y называют независимыми, если совместная функция распределения является произведением одномерных функций распределения и : .

В противном случае случайные величины называют зависимыми.

Теорема 5.3. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы для всех х и у .

Теорема 5.4. Дискретные случайные величины X и Y являются независимыми тогда и только тогда, когда для всех возможных значений и

.

Мы предоставляем возможность читателю доказать эту теорему самостоятельно.

Определение 5.6. Случайные величины , заданные на одном и том же вероятностном пространстве, называют независимыми в совокупности, если

.

Замечание 5.3. Теоремы 5.3 и 5.4 распространяются на любое число случайных величин.

Пример 5.13. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет совместную функцию распределения

Найдем:

а) вероятности событий

;

б) частные функции распределения случайных величин X и Y.

а) В соответствии со свойством 5 двумерной функции распределения имеем

.

Событие представляет собой попадание двумерной случайной величины (X, Y) в квадрант . Поэтому

б) В соответствии со свойством 7 двумерной функции распределения частные распределения случайных величин X и Y задаются формулами

Пример 5.14. Двумерная случайная величина (Х, Y) имеет совместную функцию распределения

Найдем: а) вероятности событий D₁, D₂, D₃, которые заданы соответственно:

б) частные функции распределения случайных величин X и Y.

Действуя таким же образом, как в примере 5.13, имеем:

Пример 5.15. Распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (X, Y) задано табл. 5.2. Найдем: а) ряды распределения случайных величин X и Y;

Таблица 5.2

б) значения совместной функции распределения F(x,y) в точках (4,5; 8) и (9; 11), а также вероятность события {4 X < 9, 8 Y < 11}.

а) Поскольку событие {X = 3} совпадает с объединением непересекающихся событий

{X = 3, Y = 3}, {X = 3, Y = 8} и {X = 3, Y = 12}, то

Р{Х=3} = Р{Х=3, Y =3} + Р{Х=3, Y =8} + Р{Х=3, Y =12} = 0,55.

Аналогично

Р{Х=5} = Р{Х=5, Y =3} + Р{Х=5, Y =8} + Р{X=3, Y =12} = 0,45.

Ряд распределения случайной величины X приведен в таб. 5.3.

Таблица 5.3 Таблица 5.4

Суммируя вероятности по столбцам (см. табл. 5.2), находим:

Р{Y = 3} = Р{Х = 3, Y = 3} + Р{Х = 5, Y = 3} = 0,27,

Р{Y = 8} = Р{Х = 3, Y = 8} + Р{Х = 5, Y = 8} = 0,43,

Р{Y = 12} = Р{Х = 3, Y = 12} + Р{Х = 5, Y = 12} = 0,30.

Ряд распределения случайной величины Y приведен в табл. 5.4.

б) Используя определение 5.3 совместной функции распределения и то, что событие

{X < 4,5, Y < 8} совпадает с событием {X = 3, Y = 3}, получаем

F(4,5, 8) = Р{Х < 4,5, Y < 8} = Р{Х = 3, Y = 3} = 0,17.

Аналогично событие {X < 9, Y < 11} совпадает с объединением непересекающихся событий

{X = 3, Y = 3}, {X = 3, Y = 8}, {X = 5, Y = 3} и {X = 5, Y = 8}, и, значит,

F(9,ll)=P{X<9, Y <ll}=P{X=3, Y =3}+P{X=3, Y =8}+

Р{Х = 5, Y =3}+Р{Х = 5, Y = 8} = 0,70.

Наконец,

Р{4 X < 9,8 Y < 11} = Р{Х = 5, Y = 8} = 0,30.

Пример 5.16. Совместная функция распределения непрерывной двумерной случайной величины (X, Y) имеет вид

.

Найдем совместную плотность распределения.

Воспользовавшись равенством

,

Получим

6. Числовые характеристики случайных величин

Из результатов предыдущих глав следует, что вероятности любых событий, связанных с каждой случайной величиной (в том числе многомерной), полностью определяются ее законом распределения, причем закон распределения дискретной случайной величины удобно задавать в виде ряда распределения, а непрерывной — в виде плотности распределения.

Однако при решении многих задач нет необходимости указывать закон распределения случайной величины, а достаточно характеризовать ее лишь некоторыми (неслучайными) числами. Такие числа (в теории вероятностей их называют числовыми характеристиками случайной величины) будут рассмотрены в настоящей главе. Отметим, что основную роль на практике играют математическое ожидание, задающее „центральное” значение случайной величины, и дисперсия, характеризующая „разброс” значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.

6.1. Математическое ожидание случайной величины

Как уже отмечалось выше, наиболее употребляемой на практике числовой характеристикой является математическое ожидание, или, по-другому, среднее значение случайной величины.

Определение 6.1. Математическим ожиданием

(средним значением) MX дискретной случайной величины X называют сумму произведений значений случайной величины и вероятностей , с которыми случайная величина принимает эти значения: M(X) = . При этом, если множество возможных значений случайной величины X счетно, предполагается, что

_,

т.е. ряд, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно; в противном случае говорят, что математическое ожидание случайной величины X не существует.

Математическое ожидание дискретной случайной величины имеет аналог в теоретической механике. Пусть на прямой расположена система материальных точек с массами и пусть — координата i-й точки. Тогда центр масс системы будет иметь координату

,

совпадающую с математическим ожиданием M(X) случайной величины X.

Пример 6.1. Пусть случайная величина X имеет распределение Пуассона. Тогда

.

Определение 6.2. Математическим ожиданием (средним значением) M(X) непрерывной случайной величины называют интеграл

.

При этом предполагается, что

,

т.е. несобственный интеграл, определяющий математическое ожидание, сходится абсолютно.

Заметим, что определение 6.2 является естественным обобщением определения 6.1, так как для непрерывной случайной величины с плотностью распределения

.

Так же как и в дискретном случае, математическое ожидание непрерывной случайной величины можно интерпретировать как центр масс стержня, плотность массы которого в точке х равна .

Пример 6.2. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке

[а, b] случайной величины X. Поскольку в этом случае = 0 при х < а и х > b, то

.

Как и следовало ожидать, M(X) совпадает с серединой [а,b].

6.2. Математическое ожидание. Свойства математического ожидания

Определим математическое ожидание функцией случайной величины. И так, пусть y=y(x) – является функцией случайной величины.

Рассмотрим сначала дискретную случайную величину X, принимающую значения . Тогда случайная величина Y = Y(X), как мы уже знаем, принимает значения с вероятностями

и ее математическое ожидание определяется формулой

. (6.1)

Если же величина X принимает счетное число значений, то математическое ожидание Y определяется формулой , (6.2)

Но при этом для существования математического ожидания требуется абсолютная сходимость соответствующего ряда, т.е. выполнение условия

. (6.3)

Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения , математическое ожидание случайной величины Y = Y(X) можно найти, используя аналогичную формулу

, (6.4)

причем и здесь требуется выполнение условия

.

В дальнейшем, чтобы каждый раз не оговаривать условие существовании математического ожидания, будем предполагать, что соответствующие сумма или интеграл сходятся абсолютно.

Аналогично можно вычислить математическое ожидание функции от многомерной случайной величины. Так, математическое ожидание M(Y) функции от дискретной двумерной случайной величины можно найти, воспользовавшись формулой