Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

5. Многомерные случайные величины

В прикладных задачах обычно приходится рассматривать не одну случайную величину, а несколько случайных величин, одновременно измеряемых (наблюдаемых) в эксперименте. При этом с каждым элементарным исходом бывает связан набор числовых значений некоторых количественных параметров.

В этой главе мы обобщим ранее полученные результаты на совокупность из нескольких случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве.

5.1. Многомерная случайная величина. Совместная функция распределения

Определение 5.1. Совокупность случайных величин

Заданных на одном и том же вероятностном пространстве ( ,B, Р), называют многомерной (n-мерной) случайной величиной, или п-мерным случайным вектором. При этом сами случайные величины называют координатами случайного вектора. В частности, при п=1 говорят об одномерной, при п=2 – двумерной случайной величине (или двумерном случайном векторе).

Для n-мерного случайного вектора воспользуемся обозначениями и . В случае двумерных и трехмерных случайных векторов на ряду с обозначениями и будем использовать также обозначения (X, Y) и (X, Y, Z).

Приведем примеры случайных векторов.

Пример 5.1. Отклонение точки разрыва снаряда от точки прицеливания при стрельбе по плоской цели можно задать двумерной случайной величиной (X, Y), где Х – отклонение по дальности, а Y – отклонение в боковом направлении.

При стрельбе по воздушной цели необходимо рассматривать трехмерный случай вектора (X, Y, Z), где X, Y, Z – координаты отклонения точки разрыва зенитного снаряда от точки прицеливания в некоторой пространственной системе координат.

Пример 5.2. При испытании прибора на надежность совокупных внешних воздействий в некоторый момент времени можно описать случайным вектором (X, Y, Z, …). Здесь, например, Х – температура окружающей среды, Y – атмосферное давление, Z – амплитуда вибрации платформы, на которой установлен прибор и т.д. Размерность этого вектора зависит от количества учитываемых факторов и может быть достаточно большой.

Определение 5.2. Функцией распределения (вероятностей)

(п-мерного) случайного вектора называют функцию, значение которой в точке равно вероятности совместного осуществления (пересечения) событий , т.е.

Функцию распределения называют также совместной (п-местной) функцией распределения случайных величин . В частности, при п=1 будем говорить об одномерной, при п=2 – о двумерной функции распределения.

Значение двумерной функции распределения в точке , согласно определению 5.2, представляет собой не что иное, как вероятность попадания точки с координатами в квадрант с вершиной в точке , заштрихованный на рис. 5.1.

Свойства двумерной функции распределения, аналогичные свойствам функции распределения одномерной случайной величины, доказываются в следующей теореме.

Теорема 5.1. Двумерная функция распределения удовлетворяет следующим свойствам.

1) .

2) - неубывающая функция по каждому из аргументов и

3) .

4) .

5) 6) - непрерывная слева в любой точке по каждому из аргументов и функция.

7) .

5.2. Дискретные двумерные случайные величины

Определение 5.3. Двумерную случайную величину (X,Y) называют дискретной, если каждая из случайных величин X и Y является дискретной.

Так же как и в одномерном случае, распределение двумерной случайной величины естественно описать с помощью перечисления всевозможных пар значений координат случайного вектора (X, Y) и соответствующих вероятностей, с которыми эти пары значений принимают случайные величины X и Y (для простоты ограничимся конечным множеством возможных значений, когда случайная величина X может принимать только значения , Y — значе­ния , а координаты двумерного случайного вектора (X, Y) — пары значений , . Такое пере­числение удобно представить в виде таблицы (табл. 5.1). В этой таблице в верхней строке перечислены все возможные значения случайной величины Y, а в левом столбце — значения случайной величины X. На пересечении столбца со строкой находится вероятность

Таблица 5.1

совместного осуществления событий .

В этой таблице обычно добавляют еще одну строку " " и столбец " ".

На пересечении столбца " " со строкой " " записывают число

.

Но представляет собой не что иное, как вероятность того, что случайная величина X примет значение , т.е.

.

Таким образом, первый и последний столбцы таблицы дают нам ряд распределения случайной величины X.

Аналогично, в последней строке " " помещены значения

,

а первая и последняя строки дают ряд распределения случайной величины Y. Для контроля правильности составления таблицы рекомендуется просуммировать элементы последней строки и последнего столбца. Если хотя бы одна из этих сумм не будет равна единице, то при составлении таблицы была допущена ошибка.

Используя таблицу 5.1, нетрудно определить совместную функцию распределения . Ясно, что для этого необходимо просуммировать по всем тем значениям i и j, для которых , т.е.

.

5.3. Непрерывные случайные величины

Определение 5.4. Непрерывной двумерной случайной величиной (X, Y) называют такую двумерную случайную величину (X, Y), совместную функцию распределения которой

можно представить в виде сходящегося несобственного интеграла:

.

Функцию

называют совместной (двумерной) плотностью распределения случайных величин X и Y, или плотностью распределения случайного вектора (X, Y). Область интегрирования в двойном интеграле представляет собой квадрант с вершиной в точке . Как известно, двойной интеграл можно представить в виде повторного, причем в любом порядке, следовательно,

.

Так же как и в одномерном случае, будем предполагать, что р непрерывная (или непрерывная за исключением отдельных точек или линий) функция по обоим аргументам. Тогда в соответствии с определением непрерывной случайной величины и теоремой о дифференцировании интеграла с переменным верхним пределом совместная плотность распределения представляет собой (в точках ее непрерывности) вторую смешанную производную совместной функции распределения:

. (5.1)

Заметим, что аналогичный смысл имеет совместная (n-мерная) плотность распределения случайных величин или плотность распределения случайного вектора ( ):

.

Нетрудно доказать следующие свойства двумерной плотности распределения.

Теорема 5.2. Двумерная плотность распределения обладает следующими свойствами.

1. .

2. .

3. .

4. 

5. 

6. .

7. .

8. .