Материал: Теория вероятностей и элементы математической статистики. Катрахова А.А., Купцов В.С

,

где , а функции от двумерной непрерывной случайной величины — формулой

, (6.5)

где — совместная плотность распределения случайных величин и .

Докажем теперь теорему о свойствах математического ожидания.

Теорема 6.1. Математическое ожидание удовлетворяет следующим свойствам.

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица (т.е., по сути дела, не является случайной величиной), то М(С) = С.

2. М(аХ + b) = аМ(Х )+ 6, где а, b — постоянные.

3. М( + ) = М( ) + М( ).

4. для независимых случайных величин и

Очевидно также, что свойство 3 можно обобщить на случай произвольного числа слагаемых, т.е.

.

Замечание 6.3. Свойство 4 также допускает обобщение на произведение конечного числа независисмых (в совокупности) случайных величин:

.

6.3. Дисперсия. Моменты высших порядков

Две случайные величины могут иметь одинаковые средние значения, но их возможные значения будут по-разному рассеиваться вокруг этого среднего. Например, средний балл на экзамене в двух группах равен „4^”, но в первой группе почти все студенты получили „4”, а во второй группе „четверочников” нет вообще, но есть как „пятерочники”, так и „троечники”. Поэтому, наряду со средним значением, хотелось бы иметь и число, характеризующее „разброс” случайной величины относительно своего среднего значения. Такой характеристикой обычно служит дисперсия. Кроме дисперсии можно предложить и другие меры разброса, например центральные моменты любого четного порядка, которые также будут определены в этом параграфе. Однако именно использование дисперсии и других характеристик второго порядка (ковариаций) позволяет применить в теории вероятностей сильно развитый аппарат гильбертовых пространств.

Определение 6.4. Вторым начальным моментом (обычно опускают слово „начальный”) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата

:

для дискретной случайной величины X и

для непрерывной.

Определение 6.5. Дисперсией D(X) случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее среднего значения, т.е.

.

Используя формулы (7.1)-(7.4), в которых положено

,

легко написать расчетные формулы для дисперсий дискретной и непрерывной случайных величин соответственно:

(6.6)

и

. (6.7)

Замечание 6.4. Из определения непосредственно следует, что дисперсия любой случайной величины является неотрицательным числом.

Дисперсия D(Х) представляет собой второй момент центрированной (имеющей нулевое математическое ожидание) случайной величины

.

Поэтому иногда дисперсию называют вторым центральным моментом случайной величины.

Дисперсия имеет аналог в теоретической механике — центральный (относительно центра масс) момент инерции массы, распределенной на оси с линейной плотностью р(х).

Выведем некоторые свойства дисперсии.

Теорема 6.2. Дисперсия удовлетворяет следующим свойствам.

1. Если случайная величина X принимает всего одно значение С с вероятностью единица, то D(C) = 0.

2. .

3. .

4. D(X + Y) = D(X) + D(Y) для независимых случайных величин X и Y.

Если случайная величина X с вероятностью единица принимает всего одно значение С, то в силу свойства 1 математического ожидания (M(X) = С) получаем

,

откуда вытекает утверждение 1.

Определим дисперсию случайной величины

Y = аХ + b.

Используя свойство 2 математического ожидания, имеем

Поэтому справедливо утверждение 2.

Далее, согласно свойствам 2 и 3 математического ожидания, получаем

т.е. приходим к утверждению 3. Наконец, пусть X и Y – независимые случайные величины. Тогда, используя независимость случайных величин (см. лемму 1)

и ,

а также свойства 2-4 математического ожидания, получаем

Поскольку и . Значит, имеет место утверждение 4.

Замечание 6.7. Очевидно, что свойство 4 справедливо для суммы не только двух, но и любого числа п попарно независимых случайных величин

.

Пример 6.3. Найдем дисперсию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона. Для этого воспользуемся свойством 3 дисперсии. Математическое ожидание было найдено в примере 6.1. Определим второй момент:

Таким образом,

,

и, значит, дисперсия X, так же как и математическое ожидание, совпадает с параметром .

Пример 6.4. Пусть X — число успехов в п испытаниях по схеме Бернулли. Дисперсию X и математическое ожидание можно вычислить непосредственно воспользоваться определением . Однако мы поступим другим образом. Для этого представим Х в виде суммы: Дисперсия каждого слагаемого равна:

Учитывая, что случайные величины являются независимыми, в силу свойства 4 дисперсии получаем

Пример 6.5. Дисперсия равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины Х определяется формулой

6.4. Ковариация и коэффициент корреляции случайных величин

Пусть ( , ) — двумерный случайный вектор.

Определение 6.6. Ковариацией (корреляционным моментом) cov( , ) случайных величин и называют математическое ожидание произведения случайных величин

и :

.

Запишем формулы, определяющие ковариацию.

Для дискретных случайных величин и

,

для непрерывных случайных величин и

.

Заметим, что введение понятия ковариации позволяет записать выражение для дисперсии суммы случайных величин и к уже имеющимся свойствам дисперсии добавить еще одно:

(свойство 5 дисперсии), справедливое для произвольных, а не только независимых случайных величин X и Y. Действительно,

Свойство 5 дисперсии допускает обобщение на произвольное число слагаемых:

/

Следующая теорема устанавливает основные свойства ковариации.

Теорема 6.3. Ковариация имеет следующие свойства

1. cov(X,X) = D(X).

2. cov( , ) = 0 для независимых случайных величин и .

3. Если , то .

4. .

5.| (6.8)

тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью, т.е. существуют такие числа а и b, при которых

. (6.9)