Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
Частотой колебаний называется число колебаний за время 2π (в нашем случае частота равна ω).
Амплитудой колебаний называется величина наибольшего отклонения от положения равновесия (в данном случае амплитудой является величина А).
Число ϕ0 называется начальной фазой.
II. Теперь рассмотрим решение ДУ (4.3) для случая, когда сила трения присутствует, т.е. μ ≠ 0 λ ≠ 0 . Характеристическое уравнение для (4.3)
имеет вид
p2 + 2λ p +ω2 = 0 . |
(4.47) |
Корнями уравнения (4.47) являются числа
p1,2 = −λ ± λ2 −ω2 = −λ ± λ ,
где λ < λ .
В зависимости от соотношения между λ и ω могут возникнуть три слу-
чая:
1. При λ =ω имеем p1 = p2 = −λ ( p1,2 < 0 ). Таким образом, применив формулу (4.41), запишем решение ДУ (4.3) в виде
y = e−λt (C +C |
t ). |
(4.48) |
|
1 |
2 |
|
|
Из уравнения (4.48) следует, что отклонение у при любых начальных условиях асимптотически стремится к нулю, если t →∞. В этом случае колебаний груза не будет, так как сила сопротивления велика по сравнению с коэффициентом упругости пружины k и в зависимости от начальных условий может наблюдаться один из видов апериодического движения (рис. 4.6).
2. При λ >ω имеем p1 = −λ + λ и p2 = −λ −λ ( p1,2 < 0 ). Значит, используя формулу (4.40), получим
y =C e(−λ+λ)t +C e(−λ−λ)t . |
(4.49) |
|
1 |
2 |
|
Здесь отклонение у также как и в первом случае будет асимптотически стремится к нулю при t → ∞, но, в отличие от предыдущего случая, гораздо быстрее.
143
у
0 |
t |
а)
у
0 |
t |
б)
t
в)
Рис. 4.6. Виды апериодического движения
3. При λ <ω имеем комплексные корни p = −λ ±i |
ω2 −λ2 = −λ ±ωi . |
||
|
|
1,2 |
|
Тогда, используя формулу (4.42), получим |
|
|
|
y = e−λt (C cosωt +C |
2 |
sinωt ) |
(4.50) |
1 |
|
|
|
или |
|
|
|
y = Ae−λt sin (ωt +ϕ0 ). |
(4.51) |
||
Здесь в качестве амплитуды нужно рассматривать величину Ae−λt , зави-
сящую от времени. Так как « −λ < 0 », то амплитуда Ae−λt будет стремиться к нулю при t → ∞, т.е. в этом случае мы имеем дело с затухающими колеба-
144
