Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

ференциальное уравнение первого порядка, которое можно решать заменой

равнивая нулю выражение в скобках: υ′+υtg x = 0 . Относительно функции υ это уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:

1.Запишем в нем υ′ в виде ddυx . Имеем ddυx +υtg x = 0 .

2.Разделяем переменные: ddυx = −υtg x , dυυ = − tg xdx (υ ≠ 0).

3.Интегрируем: ∫dυυ = − ∫tg xdx , ln υ = ln cos x + ln C1 .

Примем C1 =1 и окончательно получим ln υ = ln cos x .

Выразим функцию υ : eln υ = eln cos x и υ = cos x .

Далее подставляем найденное значение υ = cos x в исходное ДУ и учиты-

4.4.Дифференциальные уравнения высших порядков

4.4.1.Основные определения

Дифференциальными уравнениями высших порядков называются ДУ порядка выше первого.

Как отмечалось ранее (см. п. 4.1.), ДУ n – го порядка в общем виде записывается так

Начальные условия для ДУ n – го порядка записывается в виде

131

Задача Коши для ДУ n – го порядка ставится следующим образом: найти решение ДУ(4.21), удовлетворяющее заданным начальным условиям (4.22).

Общим решением дифференциального уравнения n – го порядка (4.21) называется функция

зависящая от n произвольных постоянных C1,C2 ,…,Cn и такая, что:

•она удовлетворяет уравнению (4.21) при любых значениях постоянных

C1,C2 ,…,Cn ;

•при заданных начальных условиях (4.22) существуют единственные

неявно определяющие решение, соответственно называются общим или част-

ным интегралом ДУ n – го порядка.

Задача нахождения решения ДУ n – го порядка сложнее, чем первого.

Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков, в основном,

сконцентрировав внимание на ДУ второго порядка F (x, y, y′, y′′) = 0 или

Исходя из сформулированных основных определений для ДУ n – го по-

рядка, можно записать аналогичные понятия и определения и для ДУ вто-

рого порядка. Например: общим решением ДУ второго порядка (4.24) является функция, зависящая от двух произвольных постоянных C1 и C2 ; начальные

132

Решение. Данное уравнение имеет вид (4.27). Следовательно, для отыскания общего решения его необходимо четырежды проинтегрировать по переменной x:

y′′′ = ∫sin xdx = −cos x +C1 ,

y′′ = ∫(−cos x +C1 )dx = −sin x +C1x +C2 ,

Таким образом, общее решение исходного уравнения четвертого поряд-

ка y =sin x + C61 x3 + C22 x2 +C3x +C4 зависит от четырех произвольных посто-

янных.

Уравнения, не содержащие явно искомой функции

Пусть дано уравнение второго порядка вида

не содержащее искомую функцию y(x) явно.

Такое уравнение следует решать с помощью замены

134

где P = P(x) – новая неизвестная функция, зависящая от х.

В результате замены (4.32) получаем ДУ первого порядка

из которого следует искать P = P(x).

Если уравнение (4.30) известного нам типа (с разделяющимися переменными, линейное или др.), то мы сможем найти его общее решение – функцию P =ϕ(x,C1 ), где C1 произвольная постоянная.

Далее, вспоминая формулу замены, y′= P снова приходим к дифференциальному уравнению первого порядка y′ =ϕ(x,C1 ), в котором переменные всегда будут разделяться.

После разделения переменных ddxy =ϕ(x,C1 ), d y =ϕ(x,C1 )dx и интегри-

рования ∫d y = ∫ϕ(x,C1 )dx получаем общее решение исходного ДУ (4.28)

y = ∫ϕ(x,C1 )dx = Φ(x,C1 )+C2 ,

где Φ(x,C1 ) – первообразная функции ϕ(x,C1 ).

Пример 4.4. Найти общее решение дифференциального уравнения y′′x = y′.

Решение. Определяем тип исходного ДУ. Данное уравнение второго порядка и не содержит явно искомую функцию y(x). Значит, оно допускает по-

ного ДУ первого порядка: оно разрешено относительно производной и функция в правой части ДУ f (P, x) имеет вид произведения двух функций, каждая из

135