Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемое учебное пособие содержит избранные главы курса «Высшая математика», который изучают студенты-ускоренники специальности «Автомобильные дороги и аэродромы» Воронежского государственного архитек- турно-строительного университета.
Данное пособие состоит из шести разделов: векторная алгебра и аналитическая геометрия; дифференциальное исчисление; интегральное исчисление; дифференциальные уравнения; кривизна плоской кривой, варианты расчетнографических работ.
При изучении раздела «Векторная алгебра и аналитическая геометрия» следует хорошо разобраться в понятии вектора и методе координат. После изучения этого раздела выполняется расчетно-графическая работа 1, которая включает задачи с использованием действий над векторами, элементов аналитической геометрии на плоскости и в пространстве.
Вразделе «Дифференциальное исчисление» изучается такие фундаментальные понятия математического анализа, как производная и дифференциал, которые необходимы для исследования функций и построения графиков функций одной переменной. После изучения раздела «Дифференциальное исчисление» выполняется расчетно-графическая работа 2.
Раздел «Интегральное исчисление» рассматривает понятие неопределенного и определенного интегралов и основные методы интегрирования. В пособии приводятся примеры по применению определенных интегралов для решения геометрических задач. После изучения раздела «Интегральное исчисление» выполняется расчетно-графическая работа 3, которая посвящена нахождению неопределенных интегралов.
Вразделе «Дифференциальные уравнения» изложены необходимые сведения по методам решения простейших дифференциальных уравнений первого
ивторого порядка. После изучения раздела «Дифференциальные уравнения» выполняется расчетно-графическая работа 4.
Впятом разделе «Кривизна плоской кривой» вводятся такие основные понятия дифференциальной геометрии, как кривизна плоской кривой, радиус, центр и круг кривизны, а также понятие эволюты и эвольвенты плоской кривой.
Варианты расчетно-графических работ 1, 2, 3 и 4 по темам «аналитическая геометрия», «дифференциальное исчисление», «неопределенные интегралы» и «дифференциальные уравнения» соответственно приведены в шестом разделе.
Авторы выражают благодарность кандидатам физ.-мат. наук, доцентам А.М. Дементьевой, А.Б. Кущеву и С.А. Шаброву внимательно прочитавшим рукопись. Их ценные замечания и рекомендации помогли улучшить содержание пособия.
6
1.ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.1.Векторная алгебра
1.1.1.Векторы и действия над ними
Вектором называется направленный отрезок.
Если А – начало вектора, а В – его конец, то вектор обозначается симво-
лом AB или a (рис. 1.1)
В
a
AB
А
Рис. 1.1. Различные обозначения вектора
Вектор характеризуется длиной и направлением.
Длиной (модулем) вектора AB называется длина отрезка AB и обозна-
чается AB . Модуль вектора – скалярная величина (число).
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается e . Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обозначается ea .
Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, назы-
ваются коллинеарными.
Вектор, начало и конец которого совпадают, называют нуль-вектором и он является коллинеарным с любым вектором.
Два вектора равны, если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Равные вектора также называют свободными.
Из определения равенства векторов следует, что начало вектора можно помещать в любую точку пространства, а вектор переносить параллельно самому себе. Это свойство используется при выполнении таких действий над векторами, как
•сложение;
•вычитание;
•умножение вектора на число.
Перечисленные операции называют линейными.
Для любых двух векторов сложение проводят по правилу треугольника.
Пусть a и b – два произвольных вектора. Чтобы найти их сумму a +b
7
по правилу треугольника необходимо в конец первого вектора ( a ) переместить начало второго вектора (b ) и провести вектор, выходящий из начала вектора a в конец вектора b (рис. 1.2).
a
a + b
b
Рис. 1.2. Сложение векторов по правилу треугольника
Если вектора a и b неколлинеарны, то их сложение можно провести не только по правилу треугольника, но и по правилу параллелограмма.
Сложение векторов a и b по правилу параллелограмма представлено на рис. 1.3.
a
|
|
|
|
a + |
|
|
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
b |
b |
||||
Рис. 1.3. Сложение векторов по правилу параллелограмма
Как видно из рисунка 1.3., сумму векторов a +b есть диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b .
Если же требуется сложить несколько векторов, например a , b , c и d ,
то пользуются правилом многоугольника: конец первого вектора совмещают с началом второго, конец второго – с началом третьего и т.д. После этого начало первого вектора с концом последнего соединяют вектором, который и будет являться суммой исходных векторов (рис. 1.4).
Под разностью векторов a и b понимают вектор c = a −b такой, что
b + c = a (рис. 1.5).
Умножить вектор a на число λ – значит, построить новый вектор λa , модуль которого получается умножением модуля вектора a на абсолютное значение λ , а направление совпадает с направлением вектора a , если λ > 0 , и является противоположным направлению вектора a , если λ < 0 .
8
Например, если дан вектор a , то векторы 2 a и « −12 a », будут иметь вид,
изображенный на рис. 1.6.
|
|
a |
a |
a + |
|
+c + |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
b |
d |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
b |
|
d |
||||
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
c |
|
|
||||
Рис. 1.4. Сложение векторов по правилу многоугольника
a
a − b = c
b |
b |
Рис. 1.5. Разность векторов
2a
a |
a |
− |
1 a |
|
2 |
Рис. 1.6. Умножение вектора на число
Заметим, что если ненулевые вектора a и b коллинеарны, то a = λ b .
1.1.2. Проекция вектора на ось
Осью называется прямая, на которой выбрано направление.
Проекцией вектора AB на ось l называется длина отрезка A′B′ этой
9
оси (рис. 1.7), заключенного между проекциями A′ и B′ его начальной точки А
и конечной точки В, взятая со знаком "+" , если направление вектора A′B′ совпадает с направлением оси, и со знаком "−" , если эти направления противоположны.
|
В |
a |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
a |
l |
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
A′ |
B′ |
l |
|
Рис. 1.7. Проекция вектора на ось |
Рис. 1.8. Иллюстрация к теореме 1.1. |
||
Теорема 1.1. Проекция вектора a на ось l (см. рис. 1.8) равна произведению модуля вектора a на косинус угла ϕ между вектором и осью, т.е.
Прla = |
|
a |
|
cosϕ . |
(1.1) |
|
|
Следствие 1.1. Проекция вектора a на ось l
•положительна (рис. 1.9, а), если вектор a образует с осью l острый угол ( cosϕ > 0 );
•отрицательна (рис. 1.9, б), если вектор a образует с осью l тупой угол (cosϕ < 0 );
• равна нулю (рис. 1.9, в), если этот угол – прямой
( cosϕ = 0 ).
a |
ϕ |
a |
|
ϕ |
|
|
|||||
l |
l |
|
|
|
l |
|
|
|
|||
а) |
б) |
|
|
в) |
|
Рис. 1.9. Различные варианты проекции вектора на ось
Следствие 1.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между собой.
10