Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
|
|
= a |
|
|
|
= |
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 |
|
(проекция вектора |
|
|
|
||
Прa |
|
b |
на вектор a ). (1.10) |
|||||||||||
b |
b |
|||||||||||||
a |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x12 + y12 + z12 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нахождение угла между векторами |
|
|||||
Из формулы |
(1.7) определяется косинус угла ϕ |
между векторами |
||||||||||||
a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2} по формуле:
|
a b |
|
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 |
|
|
cosϕ = |
a b |
= |
x12 + y12 + z12 |
x22 + y22 + z22 . |
(1.11) |
1.2. Аналитическая геометрия на плоскости
Главным объектом изучения аналитической геометрии на плоскости являются линии. Эти линии аналитическая геометрия изучает алгебраическими методами.
Как известно, в декартовой системе координат каждой точке плоскости соответствует пара действительных чисел и, наоборот, каждой такой паре чисел соответствует определенная точка плоскости. Линии на плоскости соответствует уравнение с двумя переменными.
Уравнение, связывающее переменные х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на ней, называется уравнением данной линии.
1.2.1.Уравнения прямой на плоскости
Взависимости от исходных данных уравнение прямой на плоскости может иметь различный вид.
Векторное уравнение прямой
Положение прямой L на плоскости будет определено, если задать на прямой какую-либо точку M0 (x0; y0 ) и вектор S {m;n}, параллельный этой
прямой (см. рис. 1.13). Вектор S называется направляющим вектором
прямой.
16
y
L |
|
{m; n} |
S |
M0 (x0; y0)
r0
M (x; y)
r
0 |
x |
Рис. 1.13. Вывод векторного уравнения прямой
Составим уравнение прямой L. Для этого возьмем на прямой произвольную точку M (x; y) и проведем векторы OM 0 и OM , соответственно обозна-
чив их через r0 и r . Из рис. 1.13 видно, что, складывая векторы r0 |
|
|
|
||
и M0M по |
|||||
правилу треугольника, получим вектор r |
|
|
|
||
r = r0 + |
|
. |
(1.12) |
||
M0M |
|||||
Вектор M0M , лежащий на прямой L, коллинеарен направляющему вектору S , поэтому
M0M |
|
|
|
|
=tS |
, |
(1.13) |
||
где t – скалярный множитель, называемый параметром, может принимать различные значения в зависимости от положения точки M (x; y) на прямой.
Учитывая равенство (1.13), перепишем соотношение (1.12) в виде
r = r0 +tS |
|
. |
(1.14) |
Уравнение (1.14) называется векторным уравнением прямой.
Параметрические уравнения прямой
Используя векторное уравнение (1.14) прямой L, запишем ее параметрические уравнения.
Зная координаты векторов r {x; y}, r0 {x0; y0}, S {m;n} и tS {tm;tn}, разложим их по компонентам и подставим векторы в уравнение (1.14)
xi + yj = x0i + y0 j +tmi +tnj или xi + yj =(x0 +tm)i +(y0 +tn) j .
17
Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их координаты. Следовательно, из последнего выражения имеем
x = x0 |
+tm, |
(1.15) |
|
+tn. |
|
y = y0 |
|
Равенства (1.15) называются параметрическими уравнениями прямой.
Уравнение прямой, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору
Найдем уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0 (x0; y0 ) ортогонально (перпендикулярно) данному вектору N {A; B}, который называ-
ется нормальным вектором этой прямой (рис. 1.14).
y
L |
N {A; B} |
M0 (x0; y0) |
M (x; y)
0 |
x |
Рис. 1.14. Вывод уравнения прямой, проходящей через заданную точку ортогонально данному вектору
Возьмем на прямой произвольную точку M (x; y) и рассмотрим вектор M0M {x − x0; y − y0} (см. рис. 1.14). Поскольку векторы N и M0M ортогональ-
ны, то их скалярное произведение равно нулю: N M0M = 0 или, учитывая формулу (1.8), получим
|
|
|
A(x − x0 )+ B(y − y0 )= 0 |
. |
(1.16) |
Равенство (1.16) называется уравнением прямой, проходящей через
данную точку ортогонально данному вектору.
18
Общее уравнение прямой
Раскрыв скобки в уравнении (1.16): Ax − Ax0 + By − By0 = 0 , получим об-
щее уравнение прямой на плоскости
Ax + By +C = 0 |
, |
(1.17) |
где C = −By0 − Ax0 .
Используя общее уравнение прямой (1.17) рассмотрим частные случаи положения прямой на плоскости, когда один или два коэффициента уравнения (1.17) обращаются в нуль.
1. Если C = 0 , то Ax + By = 0 y = − BA x . Координаты точки O(0;0)
удовлетворяют полученному уравнению, т.е. прямая L проходит через начало координат (рис 1.15).
2. |
Если A = 0, то By +C = 0 |
|
y = −C |
|
y = const . Следовательно |
|
|
|
B |
|
|
прямая L параллельна оси Ox (рис 1.16). |
|
|
|||
3. |
Если B = 0, то Ax +C = 0 |
|
x = −C |
|
x = const . Таким образом, |
|
|
|
A |
|
|
прямая L параллельна оси Oy (рис 1.17).
4. Если A =C = 0 , то By = 0 |
|
y = 0 – ось Ox . |
||
5. Если B =C = 0 , то Ax = 0 |
|
x = 0 – ось Oy . |
||
y |
|
y |
|
|
|
L |
|
|
L |
|
|
|
C D |
|
0 |
x |
|
|
|
|
Рис. 1.15. |
|
Рис. 1.16. |
|
Прямая, проходящая |
Прямая параллельная |
|||
через начало координат |
|
оси Ox |
||
y
L
C 
A
0 |
x |
Рис. 1.17.
Прямая параллельная оси Oy
Каноническое (простейшее) уравнение прямой
Воспользуемся параметрическими уравнениями прямой (1.15) и исключим из них параметр t:
19
x − x0 |
=t , |
y − y0 |
=t . |
|
m |
n |
|||
|
|
Приравняв левые части полученных равенств, имеем каноническое урав-
нение прямой
|
x − x0 |
= |
y − y0 |
|
. |
(1.18) |
|
m |
n |
||||
|
|
|
|
|||
Следовательно, чтобы составить каноническое уравнение прямой, необходимо знать координаты направляющего вектора S {m;n} и координаты хотя бы одной точки, лежащей на прямой.
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Пусть прямая L проходит через точки M1 (x1; y1 ) и M2 (x2; y2 ) (рис. 1.18). Воспользуемся каноническим уравнением (1.18). В качестве направляющего вектора S {m;n} прямой возьмем вектор M1M2 {x2 − x1; y2 − y1}, а в качестве точки, лежащей на прямой, возьмем любую из двух точек M1 (x1; y1 ) или M2 (x2; y2 ), например M1 (x1; y1 ).
y
L
M1 (x1; y1)
M2 (x2; y2)
0 |
x |
Рис. 1.18. Прямая, проходящая через две данные точки
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через две заданные точки будет иметь вид
|
x − x1 |
= |
y − y1 |
|
. |
(1.19) |
|||
|
|
|
|||||||
|
x |
− x |
|
y |
2 |
− y |
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
20