Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пример 1.2. Составить уравнение стороны ВС треугольника АВС, если известны координаты его вершин: A(1;2), B(−2;3) и C (2;−5). Определить ко-

ординаты направляющего S и нормального N векторов прямой ВС. Решение. Так как известны координаты двух точек, через которые про-

ходит прямая ВС, то воспользуемся уравнением (1.19):

x −(−2)	=	y −3
			.
2 −(−2)		−5 −3

Складывая числа в знаменателях дробей, получим каноническое уравнение прямой:

x +4 2 = y−−83 ,

из которого найдем координаты направляющего вектора прямой – S {4;−8}. Координаты нормального вектора N {A; B} можно определить из общего уравнения прямой, которое получим из канонического:

x + 2	=	y −3	−2 (x + 2)=1 (y −3) 8x + 4 y + 4 = 0 или
4		−8

2x + y +1 = 0 .

Таким образом, координаты нормального вектора прямой – N {2;1}.

Уравнение прямой в отрезках

Пусть прямая не проходит через начало координат и пересекает ось Oy в точке M1 (0;b), а ось Ox – в точке M2 (a;0) (рис. 1.19).

	y
L	M1 (0; b)
L

M2 (а; 0)

Рис. 1.19. Вывод уравнения прямой в отрезках

В этом случае уравнение (1.19) примет вид

x −0

y −b

или

(1.20)

a −0

0 −b

−b

Это уравнение называется уравнением прямой в отрезках, так как числа a и b указывают, какие отрезки (с учетом знака) отсекает прямая на осях координат (см. рис. 1.19).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Пусть прямая непараллельна оси OY . Тогда первая координата направляющего вектора S {m;n} не равна нулю ( m ≠ 0 ). Каноническое уравнение (1.18) перепишем в следующем виде:

			y − y =		n	(x − x		),
			y − y =			(x − x		),
		0			m		0
					m
или, обозначив величину	n	через k, получим
или, обозначив величину	m	через k, получим
	m

			y − y0	= k (x − x0 )					,	(1.21)

где k = tgϕ – тангенс угла, который составляет прямая c положительным направлением оси Ox (рис. 1.20).

y	L
S {m; n}	L
ϕ n	ϕ
m	b
	b
0	x

Рис. 1.20. Вывод уравнения прямой с угловым коэффициентом

Величина k = tgϕ называется угловым коэффициентом прямой, а

уравнение (1.21) – уравнением прямой, проходящей через данную точку в

данном направлении.

Рассмотрим частный случай уравнения (1.21), в котором в качестве точки M0 возьмем точку M (0;b) пересечения прямой с осью Oy . Подставим коор-

динаты этой точки в (1.21): y −b = k (x −0) или

y = kx +b

(1.22)

где b – отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy (см. рис 1.20).

Уравнение (1.22) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Заметим, что к виду (1.22) можно привести уравнение любой прямой непараллельной оси Oy .

1.2.2. Расстояние от точки до прямой

Пусть заданы прямая L общим уравнением Ax + By +C = 0 и точка

M0 (x0; y0 )

(рис. 1.21). Расстояние d от точки M0 до прямой L (см. рис. 1.21)

равно модулю проекции вектора

, где M1 (x1; y1 )

– произвольная точка

M1M0

{A; B}. Следовательно,

прямой L, на направление нормального вектора N

(x0

− x1 )A +(y0

− y1 )B

Ax + By

− Ax

− By

M M

d =

Пр

M M

1 0

.(1.23)

A2 + B2

M 1

M 0

n {A; B}

npn M 1M 0

Рис. 1.21. Расстояние от точки до прямой

Так как точка M1 (x1; y1 ) принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют ее уравнению, т.е. Ax1 + By1 +C = 0 . Откуда имеем

C = −Ax1 − By1 .

(1.24)

Подставляя (1.24) в выражение (1.23), получим формулу

d = Ax0 + By0 +C .	(1.25)
A2 + B2

Пример 1.3. Используя условие примера 1.2 (см. стр. 21), найти площадь треугольника АВС.

Решение. Известно, что площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны а на длину высоты h, опущенной на сторону а:

S = 12 a h .

Проведем высоту в треугольнике АВС, например, из вершины А на сторону ВС. Так как нам известны координаты точек В и С, то длину стороны ВС будет искать по формуле

a = BC = (xc − xb )2 +(yc − yb )2 = (2 −(−2))2 +(−5 −3)2 = 80 = 4 5 .

Длину высоты h можно найти как расстояние от точки А до стороны ВС. Уравнение прямой ВС было составлено в примере 1.2:

2x + y +1 = 0

поэтому, пользуясь формулой (1.25), получим

2 1+1 2 +1

5 .

22 +12

Итак, площадь треугольника АВС равна

S = 1 4 5 5 =

10 кв.ед.

1.2.3. Угол между двумя прямыми.

Условия параллельности и ортогональности двух прямых

Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловыми коэффициентами

y = k1x +b1 и y = k2 x +b2 (рис. 1.22). Углом между двумя прямыми L1 и L2 называется угол α , на который нужно повернуть вокруг точки пересечения против часовой стрелки прямую L1 до совмещения с прямой L2 .

y	L2	L1
		α
	ϕ1	ϕ2
0		х

Рис. 1.22. Угол между прямыми

По теореме о внешнем угле треугольника имеем ϕ2 =α +ϕ1 или

α =ϕ	2	−ϕ . Если α ≠ π		, то
	2	1	2
			2								tgϕ2 − tgϕ1
				tgα = tg(ϕ	2		−ϕ )=				tgϕ2 − tgϕ1					.
				tgα = tg(ϕ			−ϕ )=									.
							1			1+ tgϕ2					tgϕ1
										1+ tgϕ2					tgϕ1
	Так как tgϕ1 = k1 и tgϕ2 = k2 получим

						tgα =				k2 − k1					.		(1.26)
						tgα =			1						.		(1.26)
									1	+ k			2	k
													2	1
	Если прямые L1 и L2 параллельны, то α = 0 и tgα = 0 . Из формулы (1.26)
следует k2 − k1 = 0 , т.е.
								k2 = k1				.					(1.27)

Таким образом, условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.

Если же прямые L1 и L2 ортогональны, то α = π2 . Следовательно,

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"