Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

окружности. При ε = 0 эллипс превращается в окружность (рис. 1.26).

уε = 0

ε=12

ε = 23

х

Рис. 1.26. Зависимость формы эллипса от эксцентриситета

Если оси симметрии эллипса параллельны координатным осям Ox и Oy , то его уравнение имеет вид

где x0 и y0 координаты центра эллипса.

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек на плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и

F2 , называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Если выбрать систему координат, у которой начало расположено в середине отрезка F1F2 , и ось OX сонаправлена вектору OF2 , то уравнение гиперболы имеет вид

где а и b – действительная и мнимая полуоси гиперболы соответственно.

Уравнение (1.33) называется каноническим уравнением гиперболы.

31

Исследуем форму гиперболы, пользуясь его каноническим уравнением.

1. Уравнение (1.33) содержит координаты x и y только в четных степенях. Следовательно, гипербола – кривая, которая симметрична относительно осей Ox и Oy , а также относительно точки O(0;0), которую называют центром ги-

перболы.

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Положив y = 0 в уравнении (1.33), находим две точки A2 (−a;0) и A1 (a;0), в которых ось

Ox пересекает гиперболу. Положив x = 0 в (1.33), получаем y2 = −b2 . Так как

квадратный корень из отрицательного числа в области действительных чисел не извлекается, то можно сделать вывод: гипербола, описываемая уравнени-

ем (1.33), ось Oy не пересекает.

Точки A1 и A2 называются вершинами гиперболы, отрезок A1A2 = 2a –

действительной осью, а отрезок OA1 =OA2 = a – действительной полуосью

гиперболы.

Отрезок B1B2 = 2b , соединяющий точки B1 (0;b) и B2 (0;−b) называется

мнимой осью, а число b – мнимой полуосью. Прямоугольник со сторонами 2а

и 2b называется основным прямоугольником гиперболы.

−a ≥ x ≥ a . Это означает, что точки гиперболы расположены справа от прямой x = a (правая ветвь гиперболы) и слева от прямой x = −a (левая ветвь гиперболы).

x2 − y2

4. Разность a2 b2 сохраняет постоянное значение, равное единице.

Следовательно, при возрастании x возрастает и y .

5. Чтобы более ясно представить себе вид гиперболы необходимо рассмотреть две прямые, связанные с нею – так называемые асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки M (x; y), лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном

удалении этой точки по кривой от начала координат.

Покажем, что гипербола x2 − y2 =1 имеет две асимптоты a2 b2

32

Так как прямые (1.34) и гипербола (1.33) симметричны относительно координатных осей, то достаточно рассмотреть только те точки указанных линий,

которые расположены в первой четверти. Возьмем на прямой y = ba x точку N,

Рис. 1.27. Асимптота гиперболы в I координатной четверти

Из последней формулы видно, что при неограниченном возрастании абсциссы х расстояние MN убывает и стремится к нулю. Так как MN больше рас-

33

стояния d от точки М до прямой y = ba x , то d тем более стремится к нулю. Та-

ким образом, прямые y = ± ba x являются асимптотами гиперболы.

Из выше сказанного следует, что гипербола, описываемая уравнением (1.33), имеет форму, изображенную на рис. 1.28.

При построении гиперболы (1.33) обычно сначала строят ее вершины A1 и A2 и ее основной прямоугольник, а затем проводят прямые, проходящие через противоположные вершины этого прямоугольника – асимптоты гиперболы.

Рис. 1.28. Гипербола

Также как и у эллипса, фокусы гиперболы обозначены через F1 и F2

(рис. 1.28), расстояние между которыми равно 2с, где фокусное расстояние с определяется по следующей формуле

c = a2 +b2

34

Пусть M (x; y) – произвольная точка гиперболы (см. рис. 1.28). Длины отрезков F1M = r1 и F2M = r2 также как и у эллипса называются фокальными радиусами точки M (x; y). Из определения гиперболы следует, что

r2 − r1 = 2a < 2c .

Форму гиперболы характеризует отношение

ac =ε ,

называемое эксцентриситетом, причем у гиперболы ε >1, так как c > a . Чем меньше величина ε , тем более вытянут основной прямоугольник гиперболы.

Если a =b , получаем равнобочную гиперболу: x2 − y2 = a2 . Ее асимптотами будут прямые y = ±x , т.е. биссектрисы координатных углов.

Если оси симметрии гиперболы параллельны координатным осям Ox и Oy , то ее уравнение имеет вид

где x0 и y0 координаты центра гиперболы.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных

от некоторой точки плоскости, называемой фокусом, и некоторой прямой,

называемой директрисой.

Чтобы составить уравнение параболы, примем за ось Ox прямую, прохо-

дящую через фокус F перпендикулярно к директрисе, и будем считать ось Ox

направленной от директрисы к фокусу. За начало координат возьмем середину О отрезка от точки F до данной прямой. Расстояние от фокуса F до дирек-

трисы называется параметром параболы и обозначается через р ( p > 0 ). Ко-

35