Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Скачать файл

Заказать новую работу

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

N {A; B;C}

M 0 (x0 ; y0 ; z0 )

M (x; y; z )

Рис. 1.36. Плоскость, проходящая через данную точку ортогонально данному вектору

Общее уравнение плоскости

Раскрыв скобки в уравнении (1.36): Ax − Ax0 + By − By0 +Cz −Cz0 = 0 , по-

лучим общее уравнение плоскости в пространстве

Ax + By +Cz + D = 0

(1.37)

где D = −Cz0 − By0 − Ax0 .

Рассмотрим частные случаи уравнения (1.37) и соответствующие им расположения плоскости в пространстве.

1. Если D = 0 , то Ax + By +Cz = 0 . Полученному уравнению удовлетворяют координаты точки O(0;0;0). Следовательно, плоскость Q проходит че-

рез начало координат (рис 1.37).

2. Если A = 0, то By +Cz + D = 0 . Так как проекция нормального вектора N {A; B;C} на ось Ox равна нулю, то N Ox и, следовательно, плоскость Q

перпендикулярна плоскости yOz или, что тоже самое, плоскость Q парал-

лельна оси Ox (рис 1.38). Таким образом, если в уравнении плоскости отсутствует какая-нибудь переменная, то плоскость будет параллельна координатной оси того же названия, что и отсутствующая переменная.

3. Если A = D = 0 , то By +Cz = 0 . Плоскость Q проходит через точку O(0;0;0) и перпендикулярна плоскости yOz . Следовательно, плоскость

By +Cz = 0	проходит через	ось	Ox	(рис 1.39). Аналогично, уравнения
Ax +Cz = 0	(при B = D = 0 ) и	Ax + By = 0			(при C = D = 0) описывают плоско-
сти, проходящие соответственно через оси Oy и Oz .
4. Если A = B = 0, то Cz + D = 0					z = − D = const . Плоскость Q па-
раллельна плоскости xOy (рис.					C	Ax + D = 0
раллельна плоскости xOy (рис.			1.40). Аналогично, уравнениям			Ax + D = 0
(при B = C = 0 ) и By + D = 0		(при	A = C = 0 ) отвечают плоскости,			соответст-
венно параллельные плоскостям yOz и xOz .
					z
z
	Q
					O	y
						y
O		y
		y
x			x		Q
x			x
Рис. 1.37. Плоскость, проходящая				Рис. 1.38. Плоскость, параллельная
через начало координат					оси Ox
	z
					z
						Q
	O		y		D
			y		z = − C

					O	y
						y
x	Q				x
x					x
Рис. 1.39. Плоскость, проходящая че-				Рис. 1.40. Плоскость, параллельная
	рез ось Ox				плоскости xOy

5. Если A = B = D = 0 , то Cz = 0 , т.е. z = 0 . В этом случае плоскость Q совпадает с плоскостью xOy (рис. 1.41). Аналогично: плоскости y = 0 и x = 0

совпадают с плоскостями xOz и yOz соответственно. z

Рис. 1.41. Плоскость, совпадающая с плоскостью xOy

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Если заданы три точки, не лежащие на одной прямой, то через них можно провести единственную плоскость.

Запишем уравнение плоскости Q, проходящей через три заданные точки

M1 (x1; y1; z1 ), M2 (x2; y2; z2 )

и M3 (x3; y3; z3 ), не лежащие на одной прямой

(рис. 1.42):

(x − x

)

y2 − y1

z2 − z1

−(y − y

)

x2 − x1

z2 − z1

y3 − y1

z3 − z1

x3 − x1

z3 − z1

(1.38)

+(z − z

)

x2 − x1

y2 − y1

= 0.

x3 − x1

y3 − y1

M 1

M 3

M 2

O y

Рис. 1.42. Плоскость, проходящей через три данные точки

уравнении

(1.38)

выражения,

стоящие в квадратных скобках:

y2 − y1

z2 − z1

x2 − x1

z2 − z1

x2 − x1

y2 − y1

, есть определители второго

y − y

z − z

x − x

z − z

x − x

y − y

порядка.

Определителем второго порядка называется число, вычисляемое по

формуле

= a b − a b .

Если сравнить уравнение (1.38) с уравнением (1.36), то становится ясно, что данные определители второго порядка являются координатами нормального вектора N {A; B;C} плоскости:

A =

y2 − y1

z2 − z1

, B = −

x2 − x1

z2 − z1

и C =

x2 − x1

y2 − y1

y − y

z − z

x − x

z − z

x − x

y − y

Пример 1.6. Составить уравнение грани АВD пирамиды АВСD, если из-

вестны координаты

ее

вершин:

A(1;2;−3),

B(2;−4;1),

C (−3;−5;−1) и

D(−2;0;5).

Решение. Так как грань в пирамиде представляет собой плоскость, то нам необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через три точки A(1;2;−3), B(2;−4;1) и D(−2;0;5). Для этого воспользуемся уравнением (1.38):

(x −1)

−4 − 2

1+3

−(y − 2)

2 −1

1+3

+(z +3)

2 −1 −4 − 2

= 0 ,

0 − 2

5 +3

−2 −1

5 +3

−2 −1 0 − 2

(x −1) −6

−(y − 2) 1 4 +(z +3)

−6 = 0 ,

−2

−3

−2

(x −1) (−6 8 − 4 (−2))−(y − 2) (1 8 − 4 (−3))+(z +3) (1 (−2)−(−6) (−3))= 0 , −40 (x −1)− 20 (y − 2)− 20 (z +3)= 0 или 2 (x −1)+(y − 2)+(z +3)= 0 .

Окончательно уравнение плоскости АВD (грани АВD) примет вид

2x + y + z −1 = 0 .

Уравнение плоскости в отрезках

Пусть плоскость отсекает на осях Ox , Oy и Oz соответственно отрезки а, b и с не равные нулю, т.е. проходит через три точки A(a;0;0), B(0;b;0) и

C (0;0;c) (рис. 1.43).

C (0; 0; c )

B (0;b; 0 ) y

A (a; 0; 0 )

Рис. 1.43. Вывод уравнения плоскости в отрезках

Запишем уравнение плоскости Q, проходящей через данные три заданные

точки. Подставим координаты точек A(a;0;0),

B(0;b;0)

и C (0;0;c)

в уравне-

ние (1.38):

(x − a)

b −0 0 −0

−(y −0)

0 − a 0 −0

+(z −0)

0 − a b −0

= 0 .

0 −0 c −0

0 − a c −0

0 − a 0 −0

Раскрыв определители

(x − a)bc − y(−ac)+ zba = 0

или xbc + yac + zba = abc ,

и разделив последнее равенство на abc ≠ 0 , получим

(1.39)

Уравнение (1.39) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.

Этим уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

1.3.2. Расстояние от точки до плоскости

Пусть задана плоскость Q общим уравнением Ax + By +Cz + D = 0 и точ-

ка M0 (x0; y0; z0 ) (рис. 1.44). Расстояние d от точки M0 до плоскости Q равно модулю проекции вектора M1M0 , где M1 (x1; y1; z1 ) – произвольная точка

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"