Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
у
N − 2p ; y
директриса
M (x; y)
|
|
p |
|
|
p |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
p |
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
F |
|
;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x = − |
p |
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рис. 1.29. Вывод уравнения параболы
Пусть M (x; y) – произвольная точка параболы. Соединим точку М с F и
проведем отрезок MN перпендикулярно директрисе (см. рис. 1.29). По определению параболы имеем MN = MF . Применяя формулу расстояния между
двумя точками, находим
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
p 2 |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
MF |
= |
x − |
|
|
+ y2 |
и |
MN |
= |
x + |
|
|
+(y − y) |
|
. |
2 |
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно,
|
p 2 |
|
|
p 2 |
||||
x − |
|
|
+ y2 |
= |
x + |
|
. |
|
2 |
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
Возводя обе части последнего уравнения в квадрат, получим уравнение параболы в выбранной системе координат:
|
p 2 |
2 |
|
p 2 |
|
x |
2 |
− px + |
p2 |
+ y |
2 |
= x |
2 |
+ px + |
p2 |
|
|||
x − |
|
|
+ y |
|
= x + |
|
|
или |
|
|
|
|
|
, |
|||||
2 |
|
2 |
|
4 |
|
|
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
откуда
36
y2 = 2 px |
. |
(1.35) |
Уравнение (1.35) называется каноническим уравнением параболы.
Исследуем форму параболы, пользуясь его каноническим уравнением.
1.В уравнение (1.35) координата y входит в четной степени. Значит, парабола – кривая, которая симметрична относительно оси Ox , а ось Ox являет-
ся осью симметрии параболы.
2.При x = 0 имеем y = 0 . Следовательно, парабола проходит через нача-
ло координат. Точка O(0;0) называется вершиной параболы (1.35).
3.Так как p > 0 , то из уравнения (1.35) следует, что x ≥ 0 . Это означает, что парабола расположена справа от оси Oy .
4.При неограниченном возрастании х модуль у также неограниченно воз-
растает.
Из выше сказанного следует, что парабола, описываемая уравнением (1.35), имеет форму, изображенную на рис. 1.30.
Отрезок MF = r (рис. 1.30) называется фокальным радиусом точки
M (x; y).
Уравнения
y2 = −2 px , x2 = −2 py и x2 = 2 py (p > 0)
также определяют параболы, вид которых изображен на рис.1.31 – 1.33.
Рис. 1.30. Парабола y2 = 2 px . |
Рис. 1.31. Парабола y2 = −2 px . |
37
Рис. 1.32. Парабола x2 = −2 py . |
Рис. 1.33. Парабола x2 = 2 py . |
Если ось симметрии параболы параллельна координатной оси Ox , то ее уравнение будет иметь вид
(y − y0 )2 = ±2 p(x − x0 ),
где x0 и y0 координаты вершины параболы.
Если же ось симметрии параболы параллельна координатной оси Oy , то уравнение такой параболы имеет вид
(x − x0 )2 = ±2 p(y − y0 ).
Теперь видно, что если оси симметрии кривой второго порядка параллельны координатным осям Ox и Oy , то эта кривая описывается уравнением
|
|
Ax2 +Cy2 + Dx + Ey + F = 0 |
|
|
||
|
Пример |
1.5. |
Уравнение |
кривой |
второго |
порядка |
4x2 |
+9 y2 −32x +18y +37 = 0 |
привести к каноническому виду. |
|
|||
|
Решение. |
Для приведения уравнения кривой второго |
порядка |
|||
4x2 |
+9 y2 −32x +18y +37 = 0 |
к каноническому виду выделим полные квадраты |
||||
в его левой части: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
4x2 +9 y2 −32x +18y +37 = 4(x2 −8x)+9(y2 + 2 y)+37 =
=4(x2 − 2x 4 + 42 − 42 )+9(y2 + 2 y 1+12 −12 )+37 =
=4((x − 4)2 − 42 )+9((y +1)2 −12 )+37 = 4(x − 4)2 −64 +9(y +1)2 −9 +37 = 0.
иокончательно
4(x − 4)2 +9(y +1)2 = 36.
Разделив полученное уравнение на 36, и обозначив x − 4 = X и y +1 =Y ,
получим
X 2 + Y 2 =1. 9 4
Следовательно, исходная кривая второго порядка является эллипсом, полуоси которого равны a = 3 и b = 2 . Центр эллипса находится в точке O(4;−1)
(рис. 1.34)
Y
х
O(4;−1) Х
Рис. 1.34. Эллипс
1.3. Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнением поверхности (рис. 1.35) в прямоугольной системе координат Oxyz называется такое уравнение F (x; y; z)= 0 с тремя переменными
х, у и z, которому удовлетворяют координаты каждой точки M (x; y; z), ле-
жащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.
39
z
M (x; y; z )
0 |
y |
x |
|
Рис. 1.35. Поверхность F (x; y; z)= 0
Простейшей поверхностью является плоскость. Она является поверхностью первого порядка. В пространстве плоскость можно задать различными способами и каждому из них соответствует определенный вид ее уравнения.
1.3.1. Уравнения плоскости в пространстве
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку ортогонально данному вектору
Пусть в пространстве плоскость Q задана точкой M0 (x0; y0; z0 ) и вектором N {A; B;C}, перпендикулярным этой плоскости (рис. 1.36). Вектор
N {A; B;C} называется нормальным вектором плоскости.
Выведем уравнение плоскости Q. Возьмем на ней произвольную точку M (x; y; z) и рассмотрим вектор M0M {x − x0; y − y0; z − z0} (см. рис. 1.36). При
любом расположении точки М на плоскости Q векторы N и M0M ортогональны, поэтому их скалярное произведение равно нулю: N M0M = 0 или, применив формулу (1.8), получим
|
|
|
A(x − x0 )+ B(y − y0 )+C (z − z0 )= 0 |
. |
(1.36) |
Уравнение (1.36) называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку M0 (x0; y0; z0 ) ортогонально данному вектору N {A; B;C}.
40