Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
плоскости Q, на направление нормального вектора N {A; B;C}
(см. рис. 1.44). Следовательно,
d = ПрN M1M0
z
O
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x0 |
− x1 )A +(y0 − y1 )B +(z0 |
− z1 )C |
|
|
|
|
M M |
N |
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
1 0 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
N |
|
|
|
|
|
A2 + B2 +C2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= Ax0 + By0 +Cz0 − Ax1 − By1 −Cz1 .
A2 + B2 +C2
N {A; B;C }
M 0 (x0 ; y0 ; z0 )
npN M 1M 0
d
M 1 (x1; y1; z1 ) |
Q |
(1.40)
y
x
Рис. 1.44. Расстояние от точки до плоскости
Так как точка M1 (x1; y1; z1 ) принадлежит плоскости Q, то ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, т.е. Ax1 + By1 +Cz1 + D = 0 . Откуда имеем
D = −Ax1 − By1 −Cz1 . |
(1.41) |
Подставляя (1.41) в выражение (1.40), получим искомую формулу
d = Ax0 + By0 +Cz0 + D . |
(1.42) |
A2 + B2 +C2 |
|
46
Пример 1.7. Используя условие примера 1.6, найти длину высоты H пирамиды АВСD, опущенной из точки С на грань АВD.
Решение. Так как высота H пересекает грань АВD под прямым углом, то длину высоты можно найти как расстояние от точки С до плоскости АВD, воспользовавшись формулой (1.42). Из примера 1.6 известно, что уравнение плоскости АВD имеет вид
2x + y + z −1 = 0 .
Значит
H = |
|
|
2 (−3)+1 (−5)+1 (−1)−1 |
|
= |
|
|
−6 −5 −1−1 |
|
= |
13 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
22 +12 +12 |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
||||
Пример 1.8. Используя условие примера 1.6 (см. стр. 40), найти объем пирамиды АВСD.
Решение. Известно, что объем пирамиды равен
V = 13 SOCH . H ,
где SOCH . – площадь основания пирамиды, т.е. площадь какой-либо ее грани, а
H – длина высоты пирамиды, опущенной на эту грань.
В качестве основания пирамиды возьмем, например, грань АВD. Таким образом, высота H должна быть опущена на эту грань из вершины С. Длина
данной высоты была найдена ранее, в примере 1.7 |
|
13 |
|
H = |
6 |
. |
|
|
|
|
Так как грань в пирамиде представляет собой треугольник, то площадь грани АВD можно найти по формуле
SOCH . = SABD = 12 AB AD sinα ,
где α – угол между векторами AB и AD .
Определим координаты векторов AB и AD :
AB{1;−6;4}, AD{−3;−2;8}
и воспользуемся формулой (1.11):
47
cosα = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 (−3)+(−6) (−2)+ 4 8 |
|
|
|
|
41 |
. |
|
||||||||||||||||
AB |
|
AD |
= |
|
|
|
|
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 +(−6)2 + 42 (−3)2 +(−2)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
AB |
|
AD |
|
+82 |
|
|
53 |
77 |
|
|
||||||||||||||||||||||
Искомый sinα равен |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
sinα = 1−cos2 α = |
|
|
41 |
|
2 |
|
|
|
4081−1681 |
|
2400 |
|
|
20 |
6 |
|
||||||||||||||||||||||
1− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
53 77 |
= |
53 77 |
= |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||
|
53 |
|
|
53 |
77 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
77 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Учитывая длины сторон AB и AD : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
AB |
|
= 12 +(−6)2 + 42 = 53 , |
|
AD |
|
= (−3)2 +(−2)2 +82 = 77 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
находим площадь грани АВD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SABD = 1 |
53 |
77 |
|
20 |
|
6 |
|
=10 6 кв.ед. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
77 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, объем пирамиды АВСD равен
V= 13 10 6 136 = 1303 (куб.ед.)
1.3.3.Угол между двумя плоскостями.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Даны |
две плоскости Q1 и Q2 , заданные общими |
уравнениями: |
||||
A1x + B1y +C1z + D1 = 0 и A2 x + B2 y +C2 z + D2 = 0 соответственно (рис. 1.45). |
||||||
Под углом между двумя плоскостями Q1 и Q2 , понимается один из |
||||||
двухгранных углов, образованных этими плоскостями. |
|
|
|
|||
Угол ϕ |
|
|
1{A1; B1;C1} и |
|
|
|
между нормальными векторами N |
N2 {A2; B2;C2} |
|||||
плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов (см. рис. 1.45), так как это углы
со взаимноперпендикулярными сторонами. Таким образом, для нахождения угла ϕ достаточно найти угол между соответствующими нормальными векторами:
48
cosϕ = |
N1 |
N2 |
= |
A1A2 + B1B2 +C1C2 |
. |
(1.43) |
|
N1 N2 |
|
A12 + B12 +C12 A22 + B22 |
+C22 |
|
|
Q1
N1 {A1; B1;C1}
N1
N 2 N 2 {A2 ; B2 ;C2 }
ϕ
ϕ
Q2
Рис. 1.45. Угол между плоскостями
Если две плоскости перпендикулярны, то их нормальные вектора также перпендикулярны, т.е N1 N2 (и наоборот). Тогда N1 N2 = 0 или
A1A2 + B1B2 +C1C2 = 0 |
. |
(1.44) |
Уравнение (1.44) является условием перпендикулярности двух плоскостей Q1 и Q2 .
|
Если же две плоскости параллельны, то будут коллинеарны и их нор- |
|||||||||||||||||
мальные вектора, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
N |
1 |
N2 (и наоборот). Условием параллельности векторов |
||||||||||||||||
является пропорциональность их координат |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
= |
B1 |
|
= |
C1 |
|
. |
(1.45) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
B |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Это равенство |
|
|
и |
есть условие |
параллельности |
двух плоскостей |
|||||||||||
Q и Q . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
49
1.3.4. Поверхности второго порядка
Общий вид уравнения второго порядка в заданной прямоугольной системе координат следующий:
Ax2 + By2 +Cz2 + Dxy + Exz + Fyz +Gx + Hy + Kz + L = 0,
причем среди коэффициентов А, В, С, D, E, F хотя бы один ненулевой. Поверхностями второго порядка являются: сфера, эллипсоид, однополо-
стный и двуполостный гиперболоиды, эллиптический и гиперболический параболоиды, конус, а также эллиптический, гиперболический и параболический ци-
линдры.
В этом параграфе рассмотрим уравнение, в котором отсутствуют попарные произведения переменных:
Ax2 + By2 +Cz2 +Gx + Hy + Kz + L = 0 .
Сфера
Сферой называется геометрическое место всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии R (радиусе сферы) от данной точки (центра сферы).
Найдем уравнение сферы радиуса R с центром в точке M0 (x0; y0; z0 ). Согласно определению сферы расстояние любой ее точки M (x; y; z) от центра M0 (x0; y0; z0 ) равно радиусу R, т.е. M0M = R . Так как M0M = M0M , где M0M {x − x0; y − y0; z − z0}, то получим
(x − x0 )2 +(y − y0 )2 +(z − z0 )2 = R ,
или
(x − x |
)2 +(y − y |
0 |
)2 |
+(z − z |
0 |
)2 |
= R2 |
. |
(1.46) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
50