Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Воронежский государственный архитектурно–строительный университет
С.М. Алейников , В.В. Горяйнов
ОСНОВЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
Рекомендовано в качестве учебного пособия редакционно–издательским советом Воронежского государственного архитектурно–строительного университета
для студентов, обучающихся по специальности 270205 «Автомобильные дороги и аэродромы» ускоренной формы обучения
Воронеж 2009
УДК 51(075) ББК 22.1я73 А 458
Рецензенты:
кафедра прикладной информатики воронежского филиала Российского государственного торгово-экономического университета; А.Д. Чернышов, д–р физ.–мат. наук, проф. кафедры высшей математики Воронежской государственной технологической академии
Алейников, С.М.
А458 Основы высшей математики. [Текст] : учеб. пособие / С.М.
Алейников, В.В. Горяйнов; под ред. проф. С.М. Алейникова; Воронеж. гос. арх.–строит. ун–т. – Воронеж, 2009. – 167 с.
ISBN 978-5-89040-249-3
Предлагаемое учебное пособие содержит избранные главы курса «Высшая математика», который изучают студенты-ускоренники, обучающиеся по специальности 270205 «Автомобильные дороги и аэродромы» Воронежского государственного архитектурностроительного университета. В пособии приведены варианты расчетно-графических работ с примерами решения типовых задач.
Пособие будет полезно не только студентам ускоренной формы обучения, но и студентам заочного отделения, а также бакалаврам.
Ил. 100. Табл. 5. Библиогр.: 8 назв.
УДК 51(075) ББК 22.1я73
© Алейников С.М., Горяйнов В.В., 2009
© Воронежский государственный архитектурноISBN 978-5-89040-249-3 строительный универси-
тет, 2009
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение……………………….………………………………………..... 6
1.Векторная алгебра и аналитическая геометрия………………. 7
1.1.Векторная алгебра……………………………………………….. 7
1.1.1.Векторы и действия над ними……………………………. 7
1.1.2.Проекция вектора на ось………………………………….. 9
1.1.3.Разложение вектора по компонентам……………………. 11
1.1.4.Действия над векторами в системе координат………….. 13
1.1.5.Скалярное произведение векторов и его применение….. 13
1.2.Аналитическая геометрия на плоскости………………………... 16
1.2.1. Уравнения прямой на плоскости………………………… 16
1.2.2.Расстояние от точки до прямой………………………….. 23
1.2.3.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и ортогональности двух прямых………………………… |
25 |
1.2.4. Кривые второго порядка………………………………….. |
27 |
1.3. Аналитическая геометрия в пространстве……………………… |
39 |
1.3.1. Уравнения плоскости в пространстве…………………… |
40 |
1.3.2. Расстояние от точки до плоскости…………….………… |
45 |
1.3.3. Угол между двумя плоскостями. Условия |
|
параллельности и перпендикулярности плоскостей…… |
48 |
1.3.4.Поверхности второго порядка……………………………. 50
2.Дифференциальное исчисление……………………………………. 64
2.1.Определение производной. Таблица производных……………. 64
2.2.Правила дифференцирования…………………………………… 65
2.3. Производная сложной функции………………………………… |
67 |
2.4. Геометрический смысл производной. |
|
Уравнение касательной и нормали к кривой………………….. |
68 |
2.5. Механический смысл производной…………………………….. |
71 |
2.6. Производные высших порядков………………………………… |
72 |
2.7.Дифференциал функции…………………………………………. 73
2.8.Признаки постоянства, возрастания и убывания функции……. 75
2.9.Экстремумы функции……………………………………………. 76
2.10.Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке….. 80
2.11.Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.. 82
2.12.Общая схема исследования функции………………………….. 84
3.Интегральное исчисление…………………………………………... 88
3.1.Неопределенный интеграл………………………………………. 88
3.1.1.Понятие неопределенного интеграла……………………. 88
3.1.2.Основные свойства неопределенного интеграла……….. 89
3.1.3.Таблица основных неопределенных интегралов……….. 90
3
3.1.4.Основные методы интегрирования………………………. 91
3.1.5.Интегрирование выражений,
содержащих квадратный трехчлен………………………. 94
3.1.6.Интегрирование тригонометрических выражений……... 94
3.1.7.«Неберущиеся» интегралы……………………………….. 96
3.2.Определенный интеграл…………………………………………. 96
3.2.1.Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла………………………………… 96
3.2.2.Определение определенного интеграла…………………. 99
3.2.3.Определенный интеграл с переменным
верхним пределом………………………………………… 101
3.2.4.Свойства определенного интеграла……………………… 101
3.2.5.Вычисление определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница…………………………….. 103
3.2.6.Замена переменных в определенном интеграле………… 104
3.2.7.Формула интегрирования по частям в
определенном интеграле…………………………………. 105
3.2.8.Вычисление площадей плоских фигур………………….. 106
3.2.9.Интегрирование четных и нечетных функций………….. 110
3.2.10.Вычисление объема тела по известным
площадям поперечных сечений………………………... 112
3.2.11.Вычисление объема тела вращения…………………….. 113
3.2.12.Вычисление длины дуги плоской кривой……………... 115
3.2.13.Вычисление площади поверхности тела вращения…… 118
4.Дифференциальные уравнения…………………………………….. 119
4.1.Общие сведения о дифференциальных уравнениях…………… 119
4.2.Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям……… 120
4.3.Дифференциальные уравнения первого порядка……………… 124
4.3.1.Основные определения…………………………………… 124
4.3.2.Уравнения с разделяющимися переменными…………… 127
4.3.3.Линейные уравнения первого порядка………………….. 129
4.4.Дифференциальные уравнения высших порядков…………….. 131
4.4.1.Основные определения…………………………………… 131
4.4.2.Уравнения, допускающие понижение порядка…………. 133
4.4.3.Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка…………………………………………… 138
4.4.4.Исследование дифференциального уравнения
свободных колебаний…………………………………….. 141
5.Кривизна плоской кривой………………………………………….. 146
5.1.Определение кривизны………………………………………….. 146
5.2.Вычисление кривизны графика функции…….………………… 148
5.3.Радиус и центр кривизны. Эволюта и эвольвента
плоской кривой…………………………………………………... 151
4
6.Варианты расчетно-графических работ…………………………. 153
6.1.Расчетно-графическая работа 1
«аналитическая геометрия»……………………………………... 153 6.2. Расчетно-графическая работа 2
«дифференциальное исчисление»……………………………… 155 6.3. Расчетно-графическая работа 3
«неопределенные интегралы»…………………………………... 162 6.4. Расчетно-графическая работа 4
«дифференциальные уравнения»……………………………….. 165
Заключение…………………………….……………………………....... 166 Библиографический список …...………................................................ 166
5