Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Теорема 1.2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось

Прl (a +b + c )= Прl a + Прlb + Прlc .

Теорема 1.3. При умножении вектора a на число λ его проекция на ось l также умножается на это число, т.е.

Прl (λ a )= λ Прl a .

1.1.3. Разложение вектора по компонентам

Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат Oxyz . Выделим на координатных осях Ox , Oy и Oz единичные векторы, обозна-

Рис. 1.10. Разложение вектора по ортам координатных осей

Проведем из начала координат вектор OM . Пусть координаты точки M (x; y; z). Проекции точки M (x; y; z) на координатные оси соответственно

11

OM =OM1 + M1N + NM .

Так как M1N =OM 2 , а NM = OM 3 , то

Подставляя равенства (1.2) в (1.3), получим

где x i , y j и z k – компоненты вектора.

Равенство (1.4) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по компонентам.

Числа x, y и z называются координатами вектора.

Видно, что разложение вектора по ортам координатных осей единствен-

но, поэтому если два вектора равны, то их соответствующие координаты

равны.

Отметим, что координаты любого вектора совпадают с координатами конца этого вектора, если начало вектора поместить в начало координат.

Если вектор M1 M 2 не выходит из начала координат и известны коорди-

наты точек M1 и M2 (рис. 1.11),

M 2 (x2 ; y2 ; z2 )

M 1 (x1; y1; z1 )

Рис. 1.11. Вектор, у которого известны координаты его начала и конца

т.е. координаты вектора M1 M 2 равны разностям соответствующих коорди-

нат его конца и начала.

12

1.1.4. Действия над векторами в системе координат

Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы вектора

a = x1i + y1 j + z1k и b = x2i + y2 j + z2k .

Координаты вектора c = a +b равны сумме соответствующих координат векторов a и b , т.е.

c = a +b =(x1 + x2 )i +(y1 + y2 ) j +(z1 + z2 )k .

Координаты вектора d = λ a равны произведению координат вектора a на число λ , т.е.

d = λ a = λ x1i + λ y1 j + λ z1k .

Так как для коллинеарных векторов a и b справедливо

a = λ b ,

Следовательно, координаты коллинеарных векторов пропорциональ-

ны.

1.1.5. Скалярное произведение векторов и его применение

Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b (рис. 1.12)

называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

a ϕ

b

Рис. 1.12. Вектора, пересекающиеся под углом ϕ

13

Скалярное произведение обладает свойствами:

• переместительности: a b =b a ;

• сочетательности: (λa ) b = λ(a b );

• распределительности: a (b + c )= a b + a c ;

• равно нулю тогда и только тогда, когда ненулевые вектора перпендикулярны (ортогональны). Действительно, если

a b cos(a;b )= 0 a b cos(a;b )= 0 a b = 0 .

Если вектора a и b заданы своими координатами: a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2}, то их скалярное произведение будет равно сумме произведений соответствующих координат, т.е.

Пример 1.1. Даны a {−2;1;3} и b {1;−5;4}. Найти a b .

Решение. Так как вектора a и b заданы координатами, то для вычисления их скалярного произведения применим формулу (1.8):

ab =(−2) 1+1 (−5)+3 4 = −2 −5 +12 =5

Спомощью скалярного произведения можно решать такие задачи, как:

• определение длины вектора;

• вычисление проекции одного вектора на направление другого;

• нахождение угла между векторами.

Определение длины вектора

Дан вектор a {x; y; z}. Необходимо найти его длину a . Для этого воспользуемся определением скалярного произведения (см. формулу 1.7):

14

a a = a a cos00 = a a 1 = a 2 .

С другой стороны

a a = x x + y y + z z = x2 + y2 + z2 .

Из этих равенств видно, что

a 2 = x2 + y2 + z2 ,

и, извлекая квадратный корень, получим

Вычисление проекции одного вектора на направление другого

Даны два вектора a {x1; y1; z1} и b {x2; y2; z2}. Необходимо найти проекцию вектора a {x1; y1; z1} на направление вектора b {x2; y2; z2} и, наоборот, проекцию вектора b {x2; y2; z2} на направление вектора a {x1; y1; z1}. Для вычисле-

ния проекции одного вектора на направление другого снова используем определение скалярного произведения (формула 1.7)

a b = a (b cosϕ)= b (a cosϕ).

Вспоминая формулу (1.1), предыдущее равенство перепишем в виде a b = a Прab = b Прb a .

Из последнего выражения следует, что проекция одного вектора на на-

правление другого равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль того вектора, на который проецируем:

15