Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

У обеих гипербол вершины находятся на оси Oz .

Из анализа полученных сечений можно сделать вывод: двуполо-

стный гиперболоид представляет собой поверхность, состоящую из двух полостей, имеющих форму выпуклых неограниченных чаш (рис. 1.49).

Двуполостный гиперболоид, имеющий каноническое уравнение (1.51), симметричный относительно координатных осей (рис. 1.49) имеет три плоскости симметрии, которые

Рис. 1.49. Двуполостный гиперболоид совпадают с координатными плоскостями и центр симметрии – начало координат O(0;0;0).

Если a = b , то имеем двуполостный гиперболоид вращения.

−x2 − y2 + z2 =1. a2 c2

Здесь в сечении гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости xOy , т.е. плоскостями z = h (h > c), будут получаться окружности.

Параболоиды

Различают два вида параболоидов: эллиптический и гиперболический. 1. Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид

где p > 0 и q > 0.

При сечении эллиптического параболоида плоскостями z = h , получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид

С увеличением h полуоси эллипса возрастают.

При пересечении поверхности (1.53) плоскостями x = h и y = h будут по-

лучаться параболы. В частности, пересекая параболоид (1.53) координатными плоскостями xOz ( y = 0 ) и yOz ( x = 0 ) соответственно получим параболы

Таким образом, эллиптический па-

раболоид имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши (рис. 1.50).

Эллиптический параболоид, заданный каноническим уравнением (1.53), в отличие от сферы, эллипсоида и гиперболои-

дов, имеет только две плоскости сим-

метрии: xОz и yОz (рис. 1.50).

Рис. 1.50. Эллиптический параболоид

57

При p = q будем иметь параболоид вращения

x2 + y2 = 2 pz ,

всечениях которого получаются окружности.

2.Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид

где p > 0 и q > 0.

При сечении гиперболического параболоида плоскостями z = h , получим линию пересечения, уравнения которой имеют вид

Кривая (1.55) при всех значениях h ≠ 0 является гиперболой. При h > 0 ее фокусы лежат на оси Ox . При h < 0 – фокусы лежат на оси Oy , а при h = 0 ли-

При пересечении поверхности (1.54) плоскостями y = h будут получаться

ветви которых направлены вверх. Так, например, при y = 0 в сечении получается парабола

x2 = 2 pz,

y = 0,

58

с вершиной в начале координат и осью симметрии Oz .

Пересекая гиперболический параболоид плоскостями x = h , получим па-

раболы

Следовательно, гиперболи-

ческий параболоид имеет вид седла (рис. 1.51).

Рис. 1.51. Гиперболический параболоид

Гиперболический параболоид, заданный каноническим уравнением (1.54), также как и эллиптический параболоид, имеет только две плоскости сим-

метрии: xОz и yОz (рис. 1.51).

Конус второго порядка

Каноническое уравнение конуса второго порядка имеет вид

Пересечем конус плоскостями z = h . Уравнения линии пересечения следующие

59

Так, в случае, пересечения плоскостью x = 0 линия пересечения

распадающуюся на прямые

60