Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

x	−	z	= 0 и	x	+	z	= 0 .
a		c		a		c

Таким образом, конус второго порядка имеет вид, изображенный на рис. 1.52.

Конус второго порядка симметричен относительно трех плоскостей и центра симметрии. Для конуса, имеющего каноническое уравнение (1.56), этими плоскостями являются xOy , xOz , yOz , а центр симметрии – точка

O(0;0;0).

При a = b получим круговой конус

x2 + y2 − z2 = 0 , a2 c2

в сечениях которого плоскостями z = h будут окружности.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрической поверхностью или цилиндром называется поверх-

ность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве параллельно самой себе и пересекая каждый раз некоторую кривую

K (рис. 1.53). При этом кривая K называется направляющей цилиндра, а прямая

L – его образующей.

Рассмотрим такие цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости. Уравнениями этих цилинд-

ров являются уравнения их направляющих.

Рис. 1.53. Цилиндрическая поверхность

Так, если направляющая K лежит в плоскости xOy , а образующая L параллельна оси Oz , то уравнение цилиндра, в общем случае, записывается в виде

F (x; y) = 0 .

Если направляющая K лежит в плоскости xOz , а образующая L параллельна оси Oy , то уравнение цилиндра следующее

F (x; z)= 0 .

Если же направляющая K лежит в плоскости yOz , а образующая L параллельна оси Ox , то уравнением цилиндрической поверхности будет являться

F (y; z)= 0 .

Название цилиндра определяется названием направляющей.

Если направляющей служит эллипс в плоскости xOy

x2	+	y2	=1	,	(1.57)
a2		b2

то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (рис. 1.54), который описывается уравнением (1.57).

Частным случаем (при a = b ) эллиптического цилиндра является круговой цилиндр. Его уравнением является

x2 + y2 = R2 ,

где R = a .

Если направляющей служит гипербола

x2	−	y2	=1	,	(1.58)
a2		b2

то цилиндрическая поверхность называется гиперболическим цилиндром (рис. 1.55). Он описывается уравнением (1.58).

Если направляющая – парабола в плоскости xOy

y2 = 2 px

(1.59)

то соответствующая цилиндрическая поверхность называется параболическим цилиндром (рис. 1.56) и уравнение (1.59) описывает этот цилиндр.

Рис. 1.54.	Рис. 1.55.	Рис. 1.56.
	Гиперболический	Параболический
Эллиптический
	цилиндр	цилиндр
цилиндр

2.ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

2.1.Определение производной. Таблица производных

Рассмотрим функцию y = f (x) и некоторую точку x = x0 внутри области

определения функции.

Производной функции y = f (x) в точке x = x0 называется предел


	f ′(x0 )= lim	f	(x0 + x)− f (x0 )		= lim	y	,	(2.1)
						x
	x→0		x		x→0
где x – приращение аргумента, а			y = f (x0 +	x) − f (x0 )		– приращение функ-
ции в точке x = x0 .

Пример 2.1. Найти производную функции y = x2 , используя определение производной.

Решение. Аргументу х дадим приращение x . Тогда функция y = x2 получит приращение

y = f (x + x) − f (x) = (x + x)2 − x2 = x2 + 2x x +( x)2 − x2 = 2x x +( x)2 .

Найдем предел отношения			y
			x
y′(x)= (x2 )′ = lim	y	= lim	2x x + (	x)2	= lim (2x + x)= 2x .
x→0	x	x→0	x		x→0

Аналогичную операцию по нахождению производной на основании определения можно произвести со всеми элементарными функциями. Производные основных элементарных функций приведем в табл. 2.1.

Таблица 2.1

№	Функция	Производная

1	y = const	y′ = 0
	Степенная	функция и ее частные случаи
2	y = xn ,	y′ = nxn−1
	где n – любое число
3	y = x	y′ =1

№

Окончание табл. 2.1

Функция

Производная

y = x

′

= 2 x

′

y = x

= − x2

Показательная

функция и ее частный случай

y = ax

y′ = ax ln a ,

где

ln a = loge a –

натуральный логарифм;

e ≈ 2,72… – число Эйлера

y = ex

y′ = ex

Логарифмическая

функция и ее частный случай

y = loga x

y′ =

y = ln x

xln a

y′ = x

Тригонометрические функции

y =sin x

y′ = cos x

y = cos x

y′ = −sin x

y = tg x

′

y = ctg x

= cos2 x

′

= −sin2 x

Обратные

тригонометрические функции

y = arcsin x

y′ =

y = arccos x

1− x2

y′ = −

y = arctg x

1− x2

y′

y = arcctg x

1+ x2

′

= −1+ x2

2.2. Правила дифференцирования

Если функция y = f (x) имеет производную в точке x = x0 , то функция

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"