Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

y

y = f (x)

M(x0; y0 )

α

х

Рис. 2.3. Касательная и нормаль к кривой

Нормалью к кривой называется прямая, которая перпендикулярна касательной в точке касания.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент будет равен

Поэтому уравнение нормали примет вид:

2.5. Механический смысл производной

Рассмотрим прямолинейное неравномерное движение материальной точ-

ки. Пусть материальная точка М движется по прямой. За время t точка прошла расстояние OM = S (рис. 2.4). Это расстояние зависит от истекшего времени t, т.е. путь есть функция от времени

Равенство (2.11) называется законом движения точки.

71

Рис. 2.4. Прямолинейное движение материальной точки

За время t ( t – приращение времени) точка пройдет путь от точки М до точки M1:

MM1 = S(t + t) − S(t) = S ,

где S – приращение пути.

Если бы движение было равномерным, то точка бы двигалась с постоян-

мент времени меняется и в этом случае вводят понятие мгновенной скорости движения или скорости в данный момент, т.е. V =V (t ):

Формула (2.12) справедлива и для равномерного движения.

Итак, механический смысл производной состоит в том, что скорость есть производной пути по времени.

2.6. Производные высших порядков

Производная y′ = f ′(x) функции y = f (x) есть также функция от х и на-

зывается производной первого порядка.

Если функция f ′(x) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается y′′ или f ′′(x). Таким образом y′′ =(y′)′.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается y′′′ или f ′′′(x). Сле-

72

y(n) =(y(n−1) )′.

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Замечание 2.1. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках. Например, yVI или y(6)

– производные шестого порядка.

2.7. Дифференциал функции

Дифференциалом функции y = f (x) называется произведение производ-

Рассмотрим функцию y = x . Применяя формулу (2.13), найдем ее диффе-

Следовательно, дифференциал независимой переменной и приращение независимой переменной совпадают, поэтому формулу дифференциала (2.13)

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточ-

73