Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В
производная функции положительна f ′(x) > 0 (отрицательна f ′(x)< 0 ) для всех x (a;b), то функция будет возрастающей (убывающей) на этом интерва-
ле.
Пример 2.6. Найти интервалы возрастания и убывания функции y = x2 . |
|
||||||||||
Решение. Производная функции y = x2 |
равна y′ = 2x . |
|
|
|
y′ > 0 |
|
|||||
у |
y = x2 |
|
Если |
x > 0 , |
то |
|
|||||
|
|
функция |
y = x |
2 |
возрастает на |
||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
интервале (0;∞). |
|
|
|
|||||
|
|
|
Если |
|
же |
|
|
x < 0 , |
то |
||
|
|
|
y′< 0 |
|
функция |
y = x2 |
|||||
|
|
|
убывает на интервале (−∞;0). |
||||||||
α |
α |
|
Из геометрического смыс- |
||||||||
|
|
ла производной следует, что |
|||||||||
|
|
|
|||||||||
О |
|
х |
если |
касательная |
составляет |
||||||
|
|
|
острый угол с осью Ox , то |
||||||||
Рис. 2.5. Чертеж к примеру 2.6. |
|
функция возрастает, а если |
|||||||||
|
тупой, то |
функция |
убывает |
||||||||
|
|
|
(рис. 2.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
2.9. Экстремумы функции
Пусть точка x = x0 лежит внутри области определения функции y = f (x). Точка x = x0 называется точкой максимума функции y = f (x), если в некоторой окрестности точки x0 для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполня-
ется неравенство f (x)< f (x0 ).
Точка x = x0 называется точкой минимума функции y = f (x), если в некоторой окрестности точки x0 для всех x ≠ x0 из этой окрестности выполняется
неравенство f (x)> f (x0 ).
Значение функции f (x0 ) в точке максимума (минимума) называется
максимумом (минимумом) функции (рис. 2.6 и 2.7).
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции. Экстремумы функции имеют локальный характер: отдельные минимумы
могут быть больше отдельных максимумов той же функции (рис. 2.8).
76
у
max f (x)= f (x0 ) 
f (x)
y = f (x)
х |
x0 |
х |
Рис. 2.6. Максимум функции y = f (x)
у
y = f (x)
f (x)
min f (x)= f (x0 )
x0 х х
Рис. 2.7. Минимум функции y = f (x)
у
y = f (x)
О min |
max |
х |
Рис. 2.8. Локальный характер экстремумов
77
Теорема 2.2 (необходимое условие существования экстремума). Если дифференцируемая функция y = f (x) имеет экстремум в точке x = x0 , то ее
производная равна нулю в этой точке:
f ′(x |
)= 0 . |
(2.14) |
0 |
|
|
Геометрически равенство (2.14) означает, что если x0 точка экстремума, то касательная к графику дифференцируемой функции y = f (x) в точке (x0; f (x0 )) параллельна оси Ox (рис. 2.9).
у
y = f (x)
x0 |
|
х |
|
Рис. 2.9. Геометрическая интерпретация равенства (2.14) |
|
||
Отметим, что обратное утвержде- |
|||
ние (если |
f ′(x |
)= 0 , то x = x |
– точка |
|
0 |
0 |
|
экстремума) неверно. Например, для |
|||
функции |
y = x3 |
ее производная |
y′ =3x2 |
равна нулю при x = 0 , но x = 0 не является точкой экстремума (рис. 2.10).
Есть функции, у которых в точках экстремума производная не существует. Такими точками являются угловые точки и точки, в которых производная обращается
в бесконечность. Например, |
функция |
||||
y = |
|
x |
|
(рис. 2.11) в точке x = 0 |
производ- |
|
|
||||
ной не имеет (касательная в точке O(0;0)
Рис. 2.10. График функции y = x3 не существует), но x = 0 – точка минимума функции y = x .
78
Рис. 2.11. График функции y = x
Функция y = 3 x2 , график которой изображен на рис. 2.12, в точке O(0;0)
имеет экстремум (минимум), однако в этой точке производная не существует, так как в точке O(0;0) касательная не имеет углового коэффициента.
у
y = f (x)
Ох
Рис. 2.12. График функции y = 3 x2
Точка, в которой производная функции равна нулю, называется стацио-
нарной точкой. Стационарные точки, а также точки, в которых производная не существует или бесконечна, называются критическими.
Точки экстремума следует искать именно среди критических точек.
Теорема 2.3 (достаточное условие существования экстремума). Если функция y = f (x) дифференцируема в некотором интервале, содержащем кри-
тическую точку x0 , кроме, быть может, самой точки x0 , и при переходе через нее слева направо производная f ′(x) меняет знак с плюса на минус, то x0
есть точка максимума; если же производная f ′(x) меняет знак с минуса на плюс, то x0 есть точка минимума.
79
у
max f (x)= f (x0 ) 
f ′(x0 )> 0 |
f ′(x |
)< 0 |
|
0 |
|
x0 |
|
х |
у
f |
′ |
(x |
)< 0 |
f ′(x |
)> 0 |
|
0 |
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
min f (x)= f (x0 )
x0 |
х |
Рис. 2.13. Геометрическая интерпретация теоремы 2.3.
2.9. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Наибольшее и наименьшее значения функции y = f (x), заданной на отрезке [a;b], называются глобальными экстремумами на этом отрезке.
Нахождение глобальных экстремумов проводят по следующей схеме:
1. Находят критические точки функцию, принадлежащие интервалу
(a;b).
2.Вычисляют значение функции на границах отрезка [a;b] и в критиче-
ских точках, принадлежащих интервалу (a;b).
80