Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

этом интервале. Результаты исследования запишем в виде табл. 2.4.

Из таблицы видно, что при переходе через критическую точку x =1 производная y′(x) меняет знак с « −» на «+». Следовательно, по теореме 2.3 точка

x =1 является точкой минимума ( ymin = y(1)= −4 ). А при переходе через критическую точку x =3 производная y′(x) меняет знак с «+» на« −». Таким обра-

зом, при x = 3 функция y = 6x2 −9x − x3 достигает максимума ( ymax = y(3)= 0 ). Таким образом, график функции y = 6x2 −9x − x3 проходит через точки

A(3;0) и B(1;−4).

4. Найдем интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба. Для этого вычислим вторую производную функции y = 6x2 −9x − x3

водной. Для этого любое значение переменной х из соответствующего интерва-

Из теоремы 2.4 следует, что график функции y = 6x2 −9x − x3 на интервале (−∞;2) вогнутый, а на интервале (2;∞) выпуклый. При переходе через

точку x = 2 вторая производная меняет знак. Следовательно, по теореме 2.5, точка C (2;−2) является точкой перегиба.

86

5. Данная функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности, так как

y(−x)= 6(−x)2 −9(−x)−(−x)3 = 6x2 +9x +3x3 ≠ y(x)≠ −y(x).

Функция y = 6x2 −9x − x3 непериодическая.

6.Асимптот функция y = 6x2 −9x − x3 не имеет.

7.Строим график функции y = 6x2 −9x − x3 (рис. 2.15), отметив вначале на плоскости Oxy точки пересечения функции с осями координат, точки экстремума функции и точку перегиба.

Рис. 2.15. График функции y = 6x2 −9x − x3

87

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

3.1.Неопределенный интеграл

3.1.1.Понятие неопределенного интеграла

Вдифференциальном исчислении мы по заданной функции y = F (x) на-

ходили ее производную. Эта задача решалась довольно просто (необходимо было использовать таблицу производных, правила дифференцирования и формулу для нахождения производной сложной функции).

В интегральном исчислении мы будем решать обратную задачу: найти функцию F (x), зная ее производную F′(x)= f (x), т.е. требуется восстано-

вить функцию по ее производной.

Например, f (x) = 4x3 . Значит F (x) = x4 потому что (x4 )′ = 4x3 , но

F (x) = x4 +C , C = const – также решение этой задачи, так как (x4 +C )′ = 4x3 .

Таким образом поставленная задача имеет бесчисленное множество решений. К подобным задачам (восстановить функцию по ее производной) приво-

дят многие задачи физики, механики и т.д.

Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на интервале (a;b), если для любого x (a;b) выполняется условие F′(x) = f (x).

Первообразная определяется с точностью до постоянной, т.е. если F (x) – первообразная функции f (x), то F (x)+C – тоже ее первообразная. Таким об-

разом, для функции f (x) существует бесчисленное множество первообразных

F (x)+C .

Множество первообразных F (x)+C данной функции f (x) называется

неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается

∫ f (x)dx = F (x)+C ,

где f (x) – подынтегральная функция, f (x)d x – подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования, ∫ – знак неопределенного интеграла.

88

Нахождение неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции.

В декартовой системе координат неопределенный интеграл представляет собой совокупность «параллельных» кривых y = F (x)+C (каждому числовому

значению С соответствует одна кривая из совокупности (рис. 3.1)).

у

y = F (x)+C2

3.1.2.Основные свойства неопределенного интеграла

1.Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной

функции

(∫ f (x)dx)′ = f (x),

адифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению

d(∫ f (x)dx)= f (x)dx .

2.Если подынтегральное выражение является дифференциалом некоторой функции F (x), то

∫dF (x)= F (x)+C .

3.Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

89

∫λ f (x)dx = λ∫ f (x)dx ,

где λ = const ≠ 0 .

4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций, в частности для двух функций

∫f (x)± g (x) dx = ∫ f (x)dx ± ∫g (x)dx .

3.1.3.Таблица основных неопределенных интегралов

Пользуясь тем, что интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов, используя таблицу дифференциалов (таблица 2.2.) и свойства неопределенного интеграла.

Например, так как d(sin x) = cos x d x , то по второму свойству неопределенного интеграла имеем

90