Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

∫cos2 3xdx = ∫1+ cos2 6x dx = 12 ∫dx + 12 ∫cos6xdx = 2x + 12 16 sin 6x +C .

Если производная полученного результата совпадает с подынтегральной функцией, то неопределенный интеграл найден верно.

3.1.7. «Неберущиеся» интегралы

Основная теорема интегрального исчисления утверждает, что если по-

дынтегральная функция непрерывна, то неопределенный интеграл существует, т.е. всегда существует первообразная. Однако первообразная не всегда яв-

ляется элементарной функцией.

Интегралы, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, называются «неберущимися».

К числу «неберущихся» интегралов относятся, например,

∫e−x2 dx , ∫	ex	dx ,	∫	sin x	dx ,	∫	cos x	dx ,	∫	dx	и другие.
	x									ln x
				x			x

На практике для вычисления интегралов можно пользоваться справочниками, где существуют обширные таблицы интегралов от элементарных функций. Например, «Таблицы неопределенных интегралов» М.Л. Смолянского.

3.2.Определенный интеграл

3.2.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла Путь, пройденный телом

Рассмотрим задачу, обратную той, которая привела нас к механическому смыслу производной (см. параграф 2.5.). Будем считать, что нам известен закон изменения мгновенной скорости V =V (t ) при движении точки и теперь нас

интересует путь, пройденный материальной точкой за некоторый промежуток времени от t =T1 до t =T2 .

Так как движение не предполагается равномерным, то мы не можем вычислить путь как произведение скорости на истекшее время

S =V (T2 −T1 ).

Поэтому для вычисления пути поступим следующим образом. Разобьем

точками T1 = t0 ,t1,t2 ,…,tn =T2

весь промежуток времени на большое число ма-

лых, не обязательно равных друг другу интервалов времени [t0;t1],

[t1;t2 ], …,

[tn−1;tn ], где t1,t2 ,…,tn−1 – некоторые промежуточные произвольно выбранные

моменты времени (рис. 3.2).

τ1 τ2

τi

τn

T1 =t

0 t1 t2

ti−1 ti

T2 = tn

Рис. 3.2. Вычисление пути, пройденного телом

Пусть τi – какой-либо момент времени из промежутка [ti−1;ti ]. Величина

V (τi ) есть скорость движения точки в момент τi . Тогда произведение

V (τi )

ti ,

где ti =ti −ti−1 – продолжительность

i-ого

промежутка времени,

выражает

приближенно путь, пройденный точкой за i-ый промежуток времени. Следовательно, сумма

S ≈ Sn =V (τ1 ) t1 +V (τ2 )	t2 +... +V (τn )	n
		tn = ∑V (τi ) ti	(3.7)

i=1

приближенно выражает путь, пройденный точкой за все время.

Формула (3.7) тем точнее, чем мельче будет разбиение основного проме-

жутка времени. Пусть d = max ti	– продолжительность наибольшего проме-
жутка времени. Тогда точное значение пути S получаем, переходя к пределу
суммы (3.7) при d = max ti →0 (при этом n → ∞)
		n
S =	lim	∑V (τi ) ti .	(3.8)
	d →0	i=1
	(n→∞)

Масса неоднородного стержня

Под неоднородным стержнем понимается тело, размеры которого учитываются только в одном направлении (например, только вдоль оси ОХ). Таким образом, поперечным сечением такого тела можно пренебречь, а массой пренебречь нельзя.

Если бы стержень был однородным, то его плотность измерялась бы отношением массы к его длине. Если же стержень неоднороден, то его плотность

в разных точках различная. Поэтому вводится понятие линейной плотности. Расположим стержень на оси ОХ. Под линейной плотностью стержня в

точке с абсциссой х понимают скорость изменения его массы по длине, т.е.

ρ = ρ(x)= lim	m .
x→0	x

Линейная плотность ρ = ρ(x) является непрерывной функцией координаты х и ρ(x)≥ 0.

Пусть нам известна линейная плотность ρ = ρ(x) неоднородного стерж-

ня. Требуется найти его массу.

Так как стержень неоднородный ( ρ ≠ const ), то его массу М нельзя вы-

числить по формуле

M = (b − a) ρ ,

где а и b – границы стержня.

Для вычисления массы стержня поступим следующим образом. Разобьем

весь стержень произвольными точками x0 = a , x1, x2 ,…, xn = b на большое чис-

ло малых, не обязательно

равных друг другу участков

[x0; x1], [x1; x2 ], …,

[xn−1; xn ] (рис. 3.3).

c1 c2

a =

x0 x

1 x2

xi−1 xi

b = xn

Рис. 3.3. Вычисление массы неоднородного стержня

В каждом участке [xi−1; xi ], i =1,2,…,n выберем произвольную точку ci [xi−1; xi ] и вычислим в ней значение линейной плотности ρ(ci ).

Так как длины участков [xi−1; xi ] малы, то изменение плотности на каж-

дом из них незначительно, и масса каждого участка приближенно будет равна
произведению
mi ≈ ρ(ci ) xi ,
где xi = xi − xi−1 – длина соответствующего участка стержня.
Массу всего стержня приближенно можно посчитать по формуле
n	n
M ≈ Mn = ∑mi = ∑ρ(ci ) xi .		(3.9)
i=1	i=1

Формула (3.9) тем точнее, чем мельче будет разбиение стержня на участ-

ки. Пусть d = max xi – длина наибольшего участка стержня. Тогда точное зна-

чение массы стержня получаем,	переходя к		пределу суммы	(3.9) при
d = max xi →0 (при этом n →∞)		n
		n
M = lim		∑ρ(ci )	xi .	(3.10)
d →0		i=1
(n	→∞)

3.2.2. Определение определенного интеграла

Выражения (3.8) и (3.10), получающиеся при решении различных задач, имеют одинаковую структуру. Аналогичные выражения получаются и во многих других задачах, что дает основание для следующего определения.

Пусть функция y = f (x) определена на отрезке [a;b], где a < b . Выпол-

ним следующие действия.

x1, x2 ,…, xn = b (x0 < x1 < x2 <…< xn )

С помощью точек x0 = a ,

разобьем

произвольным образом отрезок [a;b] на n частичных отрезков [x0; x1], [x1; x2 ],

…, [xn−1; xn ] (рис. 3.4).

О a = x0 x1 x2

xi−1 xi

xn = b х

Рис. 3.4. Определение определенного интеграла

В каждом частичном отрезке [xi−1; xi ], i =1,2,…,n выберем произвольную

точку ci [xi−1; xi ] и вычислим значение функции в ней, т.е. величину

f (ci ).

Умножим найденное значение функции

f (ci )

на длину xi = xi

− xi−1 со-

ответствующего частичного отрезка:

f (ci ) xi .

f (ci )

Составим сумму Sn всех произведений

xi :

Sn = f (c1 )

x1 + f (c2 )

x2 +…+ f (cn )

xn = ∑ f (ci ) xi .

(3.11)

i=1

Сумма вида (3.11) называется интегральной суммой функции

y = f (x)

на отрезке [a;b].

Таким образом, суммы (3.7) и (3.9) являются интегральными.

Сумма (3.11) зависит от способа разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки и от способа выбора в них точек ci . Обозначим через d длину наибольшего частичного отрезка [xi−1; xi ], т.е. d = max xi (i =1,2,…,n). Рассмотрим различные разбиения отрезка [a;b] на частичные отрезки [xi−1; xi ] такие, что d = max xi →0 . Очевидно, что при этом число частичных отрезков стремится

к бесконечности. Для каждого	разбиения, выбрав соответствующие точки
ci [xi−1; xi ], можно составить интегральную сумму
	n	(ci ) xi .
	Sn = ∑ f	(ci ) xi .
	i=1
Рассмотрим последовательность разбиений при d = max			xi →0 ( n → ∞)
и найдем предел	n
	n
lim	∑ f (ci )	xi .	(3.12)
d →0	i=1
(n→∞)

Если предел (3.12) существует и не зависит от способа разбиения от-

резка [a;b] на частичные отрезки и от способа выбора в них точек ci , то этот предел называется определенным интегралом от функции y = f (x)

		b
на отрезке [a;b] и обозначается ∫ f (x)dx , т.е.
		a

		n	(ci )	b	(x)dx
	lim	∑ f	(ci )	xi = ∫ f	(x)dx	,	(3.13)
	d →0	i=1		a
	(n→∞)

где числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования; отрезок [a;b] – областью (отрезком) интегрирования.

С учетом (3.13) равенства (3.8) и (3.10) соответственно будут иметь вид

T
S = ∫2 V (t )dt	(3.8’)
T1
и
b
M = ∫ρ(x)d x .	(3.10’)

100

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"