Материал: Основы высшей математики. Алейников С.М., Горяйнов В.В

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Функция y = f (x), для которой на отрезке [a;b] существует определен-

ный интеграл (3.9), называется интегрируемой на этом отрезке.

Можно показать, что для непрерывной на отрезке [a;b] функции y = f (x)

определенный интеграл существует.

Из определения следует, что определенный интеграл – это число. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования

b	b	b
∫ f (x)dx = ∫ f (z)dz = ∫ f (t )dt .
a	a	a

3.2.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть в определенном интеграле ∫ f (x)dx нижний предел а зафиксиро-

ван (постоянен), а верхний b меняется. Тогда будет меняться и значение определенного интеграла, т.е. в этом случае определенный интеграл есть функция

верхнего предела.

Для того чтобы иметь привычные обозначения, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивать его с переменной интегрирования, последнюю обозначим через t (от обозначения переменной интегрирования значение интеграла не зависит). Получим интеграл

∫ f (t )dt ,

который называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.

3.2.4.Свойства определенного интеграла

1.Если нижний и верхний пределы определенного интеграла одинаковы, то он равен нулю

∫ f (x)d x = 0 .

2. При перемене местами пределов интегрирования знак у определенного интеграла изменяется

101

b	a
∫ f (x)d x = −∫ f (x)d x .
a	b
3. Если функция f (x) интегрируема на отрезке [a;b], а С – постоянный
множитель, то
b	b
∫C f (x)d x = C ∫ f (x)d x .
a	a

4. Если функции f (x) и g (x) интегрируемы на отрезке [a;b], то опреде-

ленный интеграл от их алгебраической суммы будет равен алгебраической сумме интегралов от каждого слагаемого

b	f (x)± g (x) d x = b		f (x)d x ± b g (x)d x .
∫		∫	∫
a		a	a

5. Если функция f (x) интегрируема в наибольшем из отрезков [a;b], [a;c] и [c;b], то она интегрируема в двух других, и имеет место равенство

b	c	b
∫ f (x)d x = ∫ f (x)d x + ∫ f (x)d x ,
a	a	c

каково бы ни было взаимное расположение точек a, b и c.

6. Если функция f (x), интегрируемая на отрезке [a;b], неотрицательна и a < b , то

b	(x)d x ≥ 0 .
∫ f	(x)d x ≥ 0 .
a
7. Если функции f (x) и g (x)	интегрируемы на отрезке [a;b] ( a < b ) и на
[a;b] f (x)≤ g (x), то
b	b

∫ f (x)d x ≤ ∫g (x)d x .

8.Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

102

x	′	= f (x).
∫
	f (t )dt
a

3.2.5. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Если F (x) есть какая-либо первообразная от			непрерывной функции
f (x), то справедлива формула

	b
	∫ f (x)dx = F (b)− F (a)	.	(3.14)
	a

Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.

Итак, значение определенного интеграла выражается разностью двух значений любой первообразной подынтегральной функции при x = b и при x = a .

Если ввести обозначение

F (b)− F (a)= F (x)ba ,

то формулу (3.14) можно записать в виде

∫ f (x)dx = F (x)ba = F (b)− F (a).

Пример 3.8. Вычислить интеграл ∫5x4dx .

Решение. Сначала найдем какую-нибудь первообразную для функции 5x4 , т.е. вычислим неопределенный интеграл ∫5x4dx , а потом применим формулу Ньютона-Лейбница

2		5	2
2		5	2
∫5x4dx = 5 x			= x5	1	= 25	−15	=31.
				2
1	5		1
	5

		103

3.2.6. Замена переменных в определенном интеграле

Пусть для вычисления интеграла ∫ f (x)dx от непрерывной функции сде-

лана подстановка		a
лана подстановка		x =ϕ(t ),		(3.15)
		x =ϕ(t ),		(3.15)
где ϕ(t ) – монотонна и имеет непрерывную производную ϕ′(t )				в промежутке
[ta ;tb ], где ϕ(ta )= a , ϕ(tb )= b .
Согласно замене (3.15) исходный интеграл принимает вид:

	b	tb
	∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(t )) ϕ′(t )dt		.	(3.16)
	a	ta

Формула (3.16) называется формулой замены переменных в определенном интеграле.

Замечание 3.1. При вычислении определенного интеграла методом замены переменных возвращаться к старой переменной х не требуется, так как в интеграле правой части равенства (3.16) пределы интегрирования были изменены и соответствуют новой переменной t.

										5
	Пример 3.9. Вычислить интеграл									∫ 3 5x + 2dx .
										−1
	Решение.									5
	Решение.														1 dt
							5x + 2 =t 5dx = dt dx							=
							5x + 2 =t 5dx = dt dx							=
		5													5			27		1 dt
		∫ 3 5x + 2dx =						t1		1								= ∫ 3 t		1 dt	=
		1						t1	= 5 −		+ 2 =1							1		5
		1								5								1
		−5						t2		5
								t2	= 5 5 + 2 = 27
	1	27	1	t	4	27		4	4		3			3					3
					4	27
					3
=		∫	t 3dt = 1			= 1		3 273	−13 =			34	−1 =			[	81	−1 =		80 =12.
=			t 3dt = 1			= 1		3 273	−13 =			34	−1 =				81	−1 =		80 =12.
	5		5	4		5		4		20				20				]	20
	5	1	5	4		5		4		20				20					20
		1		3		1
				3		1

104

3.2.7. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть u =u (x) и υ =υ(x) – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке [a;b]. Для u =u (x) и υ =υ(x) имеет место равенство

(u υ)′ =u′ υ +u υ′.

Следовательно, функция u υ есть первообразная для непрерывной функции u′ υ +u υ′. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем

b				ba .
∫(u′ υ +u υ′)dx =u υ						(3.17)
						(3.17)

a
Применяя свойство интегралов, перепишем (3.17) в виде
b		b			b
′		′				(3.18)
′		′
∫u		υdx + ∫u υ dx = u υ			a .
∫u		υdx + ∫u υ dx = u υ			a .
a		a
′		′
Учитывая, что u dx = du , а υ dx = dυ равенство (3.18) представим в виде
	b	b
	∫υdu + ∫u dυ =u υ		ba .

Витоге получим формулу интегрирования по частям в определенном

интеграле

			b	b
			∫u dυ =u υ	ba − ∫υ du	,	(3.19)
						(3.19)

			a	a
где u υ	b	=u (b) υ(b)−u (a) υ(a).
где u υ	b	=u (b) υ(b)−u (a) υ(a).
	a
	a

Пример 3.10. Вычислить интеграл ∫6 (2 − x)sin3xdx .

Решение.

105

Источник: https://studfile.net/preview/16565699/

Смотрите также:


ЦЕНОВАЯ ПОЛИТИКА ПРЕДПРИЯТИЯ НА ПРИМЕРЕ ООО «ДНС РИТЕЙЛ»
_archivetempпротивовоспалительные
- Обратный порядок следования фаз 4
- Сопротивление изоляции 25
!Контрольная работа (задание)
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Новая экономика': российская специфика
'Свадьба'. Керамика
"Волонтерство и его роль в системе социокультурных институтов"